Exercícios Resolvidos de Mudança Qualquer de Variáveis

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Enunciado

Seja S x y z     está contido R 3 o sólido determinado pela desigualdade

x - x 0 2 a 2 + y 2 + z 2 ≤ 1 ,

sendo a > 0 e x 0 constantes reais.

Considere o sólido S u v w que corresponde a S x y z pela mudança de variáveis definida por:

x = u + 2 w y = 2 u + v - w z = - 2 u + 5 v + w

Se L satisfaz a igualdade v o l u m e S x y z   = L   .   v o l u m e ( S x y z ) , é correto afirmar que:

  1. L   é não-nulo e depende apenas de a
  2. L   é não-nulo e depende apenas de   x 0
  3. L = 0 , para alguns valores de   a   e   x 0
  4. L   é não-nulo, depende de a e depende de x 0
  5. L é não-nulo, não depende de   a e não depende de   x 0

Passo 1

Para calcularmos o volume, fazemos o calculo da integral tripla em cima do sólido, com f x , y , z = 1 , certo? Ou seja:

∭ S x y z d V

Quando nós fazemos uma mudança de variável, o valor encontrado no final do cálculo do volume, DEVE ser igual, desde que não esqueçamos de entrar com o Jacobiano, tudo bem?

No caso dessa questão o Jacobiano seria

J = ∂ x , y , z ∂ ( u , v , w )

x = u + 2 w y = 2 u + v - w z = - 2 u + 5 v + w

J = 1 0 2 2 1 - 1 - 2 5 1 = 1 + 20 - - 4 - 5 = 21 + 9 = 30

Passo 2

Ou seja, agora nós temos que:

∭ S x y z d V = ∭ S u v w J   d V

∭ S x y z d V = ∭ S u v w 30   d V

Como é uma constante, podemos tirar da integral, certo?

∭ S x y z d V = 30 ∭ S u v w d V

Isso significa que nosso L = 30 .

Então concluímos que L é não-nulo, e é completamente independente de   a e x 0

Resposta

e

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