Exercícios Resolvidos de Mudança Qualquer de Variáveis

Howard Anton, Irl Bivens e Stephen Davis, Cálculo – Volume II, 8ª ed. Porto Alegre: ARTMED EDITORA S.A, 2005, pp. 1101 – 39

Seja G o sólido do espaço tridimensional definido pelas desigualdades

1 - e x y 3 - e x ,     1 - y 2 z 2 - y ,       y e x y + 4

  1. Usando a transformação de coordenadas
  2. u = e x + y ,     v = y + 2 z ,       w = e x - y

    Calcule o jacobiano x ,   y ,   z ( u ,   v ,   w ) . Expresse sua resposta em termos de u ,   v ,   w

  3. Usando uma integral tripla e a mudança de variável dada em (a), encontre o volume de G .

Passo 1

Para calcular o Jacobiano pedido usamos a seguinte fórmula,

J = x , y , z ( u , v , w ) = d x d u d x d v d x d w d y d u d y d v d y d w d z d u d z d v d z d w

Mas cuidado, porque para usar essa fórmula direto precisamos ter ( x , y , z ) funções de u , v , w . Como não temos isso, vamos calcular

J = u , v , w ( x , y , z ) = e x 1 0 0 1 2 e x - 1 0 = 4 e x

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Ué, a resposta pode ficar com ( x , y , z ) ? NÃO!!

Precisamos brincar com a transformação dada para obter J com ( u , v , w ) . Vem comigo:

u = e x + y w = e x - y u + w = 2 e x 2 u + w = 4 e x

Assim, J = 2 u + w .   Ae agora acabou? NÃO!! Precisamos inverter

J = 1 J = 1 2 u + w

Passo 3

Mas antes de calcular o volume vamos estudar os limites das nossas novas variáveis, do eninciado sabemos que:

1 - e x y 3 - e x ,     1 - y 2 z 2 - y ,     y e x y + 4

Como,

u = e x + y ,     v = y + 2 z ,       w = e x - y

Vamos ter o seguinte, para a variável u vamos somar e x em todos os termos da primeira desigualdade:

1 - e x y 3 - e x

1 y + e x 3

1 u 3

Para a variável v , vamos somar y em todos os termo da segunda desigualdade:

1 - y 2 z 2 - y

1 2 z + y 2

1 v 2

Por último, subtraindo y em todos os termos da terceira desigualdade teremos:

y e x y + 4

0 e x - y 4

0 w 4

Resumindo, temos os seguintes limites:

1 u 3

1 v 2

0 w 4

Passo 4

O volume do sólido é dado por,

V = G d V = T J u ,   v ,   w d u d v d w

V = 1 3 1 2 0 4   1 2 u + w d w d v d u  

V = 1 2 1 3 1 2 ( ln u + 4 - ln ( u + 0 ) ) d v d u    

V = 1 2 1 3 ( ln u + 4 - ln u ) ( 2 - 1 ) d u

Mas,

ln x d x = x ln x - 1 + C

Assim,

V = 1 2 u + 4 ( ln u + 4 - 1 )   - u ( ln u - 1 ) 1 3

V = 1 2 7 ( ln 7 - 1 - 3 ln 3 - 1 - 5 ln 5 - 1 + 1 ( ln 1 - 1 ) )  

V = 1 2 ( 7 ln 7 - 5 ln 5 - 3 ln 3 - 8 + 8 + ln 1 )

V = 1 2 7 ln 7 - 5 ln 5 - 3 ln 3

Resposta

J u ,   v ,   w =   1 2 u + w

V = 1 2 ( 7 ln 7 - 5 ln 5 - 3 ln 3 )

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