Exercícios Resolvidos de Obtenção da Forma Normal e da Matricial

PUCRIO, Cálculo 4 - MAT1154, G3 - 2017.1, Questão 1a

Determine se as sentenças abaixo são verdadeiras ou falsas. Justifique.

( a ) Seja X t = x 1 t x 2 t uma solução não nula de X ' t = A . X ( t ) , onde A é uma matriz real 2 × 2 .

Se lim t x 1 ( t ) = 0 então lim t x 2 ( t ) = 0 .

Passo 1

( a ) Cara, essa afirmação não está correta, porque as soluções são independentes. Porém, precisamos provar. Vamos supor que X ( t ) é uma solução do tipo:

X t = e - t e t

Perceba que:

lim t x 1 ( t ) = lim t e - t = 0

lim t x 2 ( t ) = lim t e t =

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Só nos resta encontrar um sistema que tenha isso como solução.

X ' t = - e - t e t

Jogando no sistema:

- e - t e t = A . e - t e t

Vamos escrever

A = a b c d

Então:

- e - t e t = a b c d . e - t e t

- e - t e t = a e - t + b e t c e - t + d e t

Daí, temos duas equações:

- e - t = a e - t + b e t e t = c e - t + d e t

Para isso ser verdade, precisamos que a = - 1 , b = 0 , c = 0 , d = 1

Então a nossa sugestão é solução do sistema:

X ' t = - 1 0 0 1 . X ( t )

Logo, a afirmação é falsa.

Resposta

( a ) Falsa.

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