Exercícios Resolvidos de Obtenção da Forma Normal e da Matricial

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Enunciado

Escreva, se possível, o sistema dado na forma normal.

x ' ' - 2 y ' ' = sen ⁡ t   x ' ' + y ' ' = cos ⁡ t

Passo 1

A forma normal de uma EDO é essa forma como o enunciado apresentou a EDO, com o sistema e as derivadas de segunda ordem no mesmo lado. Agora, vamos escrever cada equação em função de somente uma derivada de segunda ordem.

Para fazermos isso, é como se nós estivéssemos resolvendo um simples sisteminha de equações para as variáveis x ' ' e y ' ' .

Resolvendo esse “sisteminha” isolando os termos x ' ' e y ' ' , ficamos com o seguinte sistema:

3 x ' ' = 2 cos ⁡ t + sen ⁡ t   3 y ' ' = cos ⁡ t - sen ⁡ t

Passo 2

Chamando cada derivada de primeira ordem de uma nova variável.

u = x ' ,     v = y '

Derivando as equações em função de t .

u ' = x ' ' ,     v ' = y ' '

Passo 3

Como já escrevemos as derivadas em função das nossas novas variáveis podemos montar o sistema na forma normal.

x ' = u y ' = v 3 u ' = 2 cos ⁡ t + sen ⁡ t 3 v ' = cos ⁡ t - sen ⁡ t

Resposta

x ' = u y ' = v 3 u ' = 2 cos ⁡ t + sen ⁡ t 3 v ' = cos ⁡ t - sen ⁡ t

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