Exercícios Resolvidos de Obtenção da Forma Normal e da Matricial

Dennis Zill, Equações diferenciais volume II, 11ª ed. São Paulo: Pearson Education do Brasil Ltda., 2006, pp25-12

Escreva, se possível, o sistema dado na forma normal.

x ' ' - 2 y ' ' = sen t   x ' ' + y ' ' = cos t

Passo 1

Como o nosso sistema de EDO’s já está com as derivadas de maior grau de um lado e as outras funções do outro, vamos escrever cada equação em função de somente uma derivada de segunda ordem.

Para fazermos isso, é como se nós estivéssemos resolvendo um simples sisteminha de equações para as variáveis x ' ' e y ' ' .

Resolvendo esse “sisteminha” isolando os termos x ' ' e y ' ' , ficamos com o seguinte sistema:

3 x ' ' = 2 cos t + sen t   3 y ' ' = cos t - sen t

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Chamando cada derivada de primeira ordem de uma nova variável.

u = x ' ,     v = y '

Derivando as equações em função de t .

u ' = x ' ' ,     v ' = y ' '

Passo 3

Como já escrevemos as derivadas em função das nossas novas variáveis podemos montar o sistema na forma normal.

x ' = u y ' = v 3 u ' = 2 cos t + sen t 3 v ' = cos t - sen t

Resposta

x ' = u y ' = v 3 u ' = 2 cos t + sen t 3 v ' = cos t - sen t

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