Exercícios Resolvidos de Pêndulos Simples

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Enunciado

O pêndulo físico ilustrado na figura ao lado é composto por uma barra retilínea e homogênea, de comprimento L   e massa m . Tal pêndulo oscila sob ação da gravidade em torno da sua posição de equilíbrio (linha tracejada vertical), tendo como ponto de suspensão o ponto O , localizado no extremo superior da barra. Considere que a aceleração da gravidade no local é constante e representada por g , como ilustrada na figura. Despreze quaisquer efeitos de atrito e resistência do ar. Nestas circunstâncias:

(a) Calcule o momento de inércia I deste pêndulo físico com relação ao ponto de suspensão O . Dado: o momento de inércia da barra com relação a um eixo perpendicular à barra (ou seja, ao plano da página) e passando pelo seu centro de massa é I C M =   m   L 2 /   12 .

(b) Calcule o torque τ da força peso em relação ao ponto de suspensăo O para o caso em que a barra faz um ângulo θ com a vertical. Expresse seu resultado para   τ em termos de m , L   e   g .

(c) Considere a aproximação de pequenas oscilações (onde sen ⁡ θ ≈ θ ) e use a segunda lei de Newton para rotações para mostrar que o ângulo θ satisfaz uma equação do tipo oscilador harmônico. Em seguida, use tal equação para calcular o período T das pequenas oscilações deste pêndulo fisico. Expresse seu resultado para T em termos de L   e g .

Passo 1

  1. Calcule o momento de inércia I deste pêndulo físico com relação ao ponto de suspensão O . Dado: o momento de inércia da barra com relação a um eixo perpendicular à barra (ou seja, ao plano da página) e passando pelo seu centro de massa é I C M =   m   L 2 /   12 .

Aqui ele quer saber o momento de inércia do pêndulo em relação a um eixo que não é o eixo que passa pelo centro de massa.

E aí, como resolvemos isso? Vamos usar o teorema dos eixos paralelos!

I = I C M + m d 2

Onde esse d é a distância entre o eixo novo e o centro de massa. No nosso caso, como a barra é homogênea, o centro de massa fica bem no meio, em L 2 . Então a distância do centro de massa a extremidade é L 2 = d .

Agora é só substituir os dados:

I = m L 2 12 + m L 2 2

I = m L 2 3

Prontinho!!

Passo 2

(b) Calcule o torque τ da força peso em relação ao ponto de suspensăo O para o caso em que a barra faz um ângulo θ com a vertical. Expresse seu resultado para   τ em termos de m , L   e   g .

Vamos fazer um diagrama de forças:

O torque da força peso em relação ao eixo O é dado por:

τ → = r → × P →

O r → é o vetor que vai do eixo de rotação até o ponto de aplicação da força. Como a força peso é aplicada no centro de massa, temos que r = L 2 .

Note que a força peso faz o pêndulo girar no sentido horário, por convenção, esse é o sentido negativo. Isso também pode ser visto pela regra da mão direita. É só colocar a mão na direção e sentido do vetor r e depois fechar a mão em direção ao vetor P ,e então seu dedão aponta para dentro da página e o movimento que você fez com os dedos é no sentido horário.

Então o módulo do torque é:

τ = - r P sen ⁡ θ

τ = - L 2 m g sen ⁡ θ

E o sentido é horário.

Passo 3

c) Considere a aproximação de pequenas oscilações (onde sen ⁡ θ ≈ θ ) e use a segunda lei de Newton para rotações para mostrar que o ângulo θ satisfaz uma equação do tipo oscilador harmônico. Em seguida, use tal equação para calcular o período T das pequenas oscilações deste pêndulo físico. Expresse seu resultado para T em termos de L   e g .

A segunda lei de Newton para rotações é

τ = I α

Como já sabemos o τ   e o I , vamos substituir:

- L 2 m g sen ⁡ θ = m L 2 3 α

Arrumando u pouco:

- 3 2 L g sen ⁡ θ = α

Usando a aproximação de ângulos pequenos:

- 3 2 L g θ = α

Beleza, mas lembra que α é a aceleração angular, então d 2 θ d t 2 = α

- 3 2 L g θ = d 2 θ d t 2

E essa é uma equação parecida com a equação do oscilador harmônico. Para ficar mais parecida ainda podemos escrever:

ω 2 = 3 g 2 L

E aí:

- ω 2 θ = d 2 θ d t 2

Tá a cara do oscilador harmônico! rsrs

Aí agora ele pediu pra gente achar o período T dessas oscilações. Então, a frequência angular, ω , é dada por:

ω = 2 π T

Vimos que:

ω 2 = 3 g 2 L

ω = 3 g 2 L = 2 π T

Então

3 g 2 L = 2 π T

T = 2 π 2 L 3 g

Prontinho!!

Resposta

a) I = m L 2 3

b) τ = - L 2 m g sen ⁡ θ

E o sentido é horário.

c)

T = 2 π 2 L 3 g

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