Exercícios Resolvidos de Pêndulos Simples

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Enunciado

Um pêndulo é formado por um fio ideal de comprimento L e uma partícula de massa m . Ele é afastado de um ângulo θ o no sentido positivo da posição de equilíbrio e abandonado a partir do repouso, realizando pequenas oscilações que podem ser tratadas como harmônicas simples. Sua energia cinética como função do tempo é dada pela função:

a) K t = 1 2 m g L θ o 2 s e n 2 ( g L t )

b) K t = 1 2 m ( L 3 / g ) θ o 2 s e n 2 ( L g t )

c) K t = 1 2 m L 2 g L θ o 2 s e n 2 ( g L t )

d) K t = 1 2 m g L θ o 2 ( g L t )

Passo 1

Temos um pêndulo simples que sofre oscilações com ω = g / L .

E esse movimento do pêndulo terá uma equação do MHS:

θ t = θ o cos ⁡ ω t

Tô usando cosseno porque quando t = 0 a posição do pêndulo é θ o , porque cos ⁡ 0 ° = 1 .

Derivando pra achar a velocidade angular:

θ ˙ t = - ω θ o sen ⁡ ω t

Beleza! Sabemos que existe uma relação entre a velocidade tangencial v e a velocidade angular θ ˙ . Ela é:

v = θ ˙ R = θ ˙ L

Então, substituindo:

v = - L ω θ o sen ⁡ ω t

Passo 2

Para definirmos a equação da energia cinética, sabemos que:

K t = 1 2 m v 2

Então, substituindo:

K t = 1 2 m θ ˙ L 2

K t = 1 2 m - L ω θ o sen ⁡ ω t 2

K t = 1 2 m ω 2 L 2 θ o 2 s e n 2 ( ω t )

Substituindo:

ω = g L

Então,

K t = 1 2 m g L L 2 θ o 2 s e n 2 g L t

K t = 1 2 m g L θ o 2 s e n 2 g L t

Resposta

Letra A

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