Exercícios Resolvidos de Pêndulos Simples

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Enunciado

Um pêndulo simples é formado por um fio ideal de comprimento l , ligado a uma massa m em uma extremidade e na outra presa a um pino na parede, de modo que ele pode girar livremente, como mostra a figura. Considere conhecida a aceleração g da gravidade.

  1. Mostre que a energia mecânica (energia cinética + potencial) E deste sistema pode ser escrita como:
  2. E θ = 1 2 m l 2 d θ d t 2 + m g l ( 1 - c o s θ )

    Dica: Considere a energia potencial mínima U 0 igual a zero no ponto mais baixo da tra jetória do pêndulo.

  3. Determine o valor da energia mecânica E 0 tal que para E > E 0 o movimento é ilimitado (isto é, o pêndulo pode completar uma volta completa).
  4. Aplicando princípios de conservação da energia, obtenha a equação de movimento para as oscilações do pêndulo.
  5. Obtenha o período do pêndulo na aproximação de ângulos pequenos (quando   θ ≪ 1 r a d , s e n θ ~ θ ).
  6. Encontre a solução para a equação de movimento deste pêndulo om a aproximação de ângulos pequenos para encontrar o ângulo θ como função do tempo t . Considere que, no instante inicial t 0 = 0 , o pêndulo se encontra na posição de equilíbrio θ e = 0 , mas recebe um impulso de modo que a sua velocidade angular inicial é θ 0 g l , onde θ 0 é um parâmetro adimensional conhecido.

Passo 1

  1. Bom, vamos primeiro escrever a relação básica da energia mecânica:

E M = U + K

Ou seja, a energia mecânica é a soma da energia cinética mais a potencial.

Passo 2

Vamos primeiro achar a energia potencial. Ela é dada por:

U = m g h

Mas que é esse h ?

Pela figura abaixo:

Percebemos que a altura é dada por:

h = l - l c o s θ = l ( 1 - c o s θ )

Então, a energia potencial ficará:

U = m g h = m g l ( 1 - c o s θ )

Passo 3

E a energia cinética?

Bom, sabemos que ela é dada por:

K = m v 2 2

Podemos escrever v de outra forma? Sim, basta a gente se lembrar rapidinho dos movimentos circulares:

v = ω R

Nesse caso, vamos aproximar o movimento do pêndulo por um movimento circular. Nesse caso, quem é R ?

Vai ser o comprimento do pêndulo:

R = l

E a velocidade angular? É a variação angular no tempo:

ω = d θ d t

Assim:

K = m v 2 2 = 1 2 m l 2 d θ d t 2

Assim:

E ( θ ) = 1 2 m l 2 d θ d t 2 + m g l ( 1 - c o s θ )

Passo 4

b):

Para se dar a volta completa, a partícula presa ao pêndulo precisa atingir uma altura máxima:

h = 2 l

Que é relativa ao máximo que podemos ter da função:

h = m g l ( 1 - c o s θ )

E para qual valor de θ conseguimos esse valor? π , já que:

h = m g l 1 - c o s θ = 2 m g l

Beleza? Pronto, com o valor do ângulo podemos determinar a energia mecânica necessária pra que isso acontece de acordo com a equação que achamos anteriormente:

Obs: Nesse caso, estamos considerando uma energia mínima para que o objeto apenas atinja a altura máxima, ou seja, que ele chegue a essa altura com velocidade nula. Por isso não iremos computar a energia cinética abaixo:

E ( θ ) = 1 2 m l 2 d θ d t 2 + m g l ( 1 - c o s θ )

E π = 0 + m g l 1 - c o s π = 2 m g l

Então é essa a nossa energia mínima:

E 0 = 2 m g l

Passo 5

c)

Bom, a energia mecânica deve se conservar, certo?

Então podemos dizer que:

d E d t = 0

Assim, derivando a equação abaixo em relação ao tempo:

E ( θ ) = 1 2 m l 2 d θ d t 2 + m g l ( 1 - c o s θ )

d E θ d t = m l 2 d 2 θ d t 2 + m g l s e n θ = 0

m l 2 d 2 θ d t 2 + m g l s e n θ = 0

d 2 θ d t 2 + g l s e n θ = 0

E essa é a equação de um pêndulo simples.

Passo 6

d):

Para pequenos ângulos, podemos fazer:

s e n θ ≈ θ

Assim:

d 2 θ d t 2 + g l s e n θ = 0

d 2 θ d t 2 + g l θ = 0

E obtivemos uma equação padrão de um MHS. Então, a frequência é dada por:

ω 2 = g l → ω = g l

Como a frequência é dada por:

ω = 2 π T → T = 2 π ω = 2 π l g  

T = 2 π l g  

Passo 7

e):

d 2 θ d t 2 + g l θ = 0

Devemos resolver a equação acima, sabendo que em t = 0 temos:

θ 0 = θ e = 0

e:

d θ d t = θ 0 g l

Bom, não vamos resolver a equação braçalmente. Sabemos que a solução pra uma EDO de um MHS desses é dada por:

x t = A c o s ω t + φ

Reescrevendo em termo das variáveis desse problema:

θ t = θ 0 c o s ⁡ ( ω t + φ )

Então a derivada é dada por:

θ ˙ t = - ω θ 0 s e n ω t + φ

Beleza? Bom, para t = 0 :

θ 0 = 0 → θ 0 cos ⁡ 0 + φ = 0

cos ⁡ φ = 0 →   φ = - π 2

Assim:

θ t = θ 0 cos ⁡ ω t - π 2

Lembrando da relação:

cos ⁡ θ - π 2 = s e n θ

Podemos escrever:

θ t = θ 0 s e n ω t

Usando a derivada agora:

θ ˙ t = θ 0 ω cos ⁡ ω t

θ ˙ 0 = θ 0 ω cos ⁡ 0 = θ 0 ω

Comparando com o valor dado:

θ 0 ω = θ 0 g l → ω = g l

Assim:

θ t = θ 0 s e n g l t

Resposta

  1. Prova na questão.
  2. E 0 = 2 m g l
  3. d 2 θ d t 2 + g l s e n θ = 0
  4. T = 2 π l g  
  5. θ t = θ 0 s e n g l t

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