Exercícios Resolvidos de Poder de Resolução e Critério de Rayleigh

Origem do Exercício

Qual é a distância mínima que deve separar dois objetos na Lua para serem resolvidos pelo telescópio espacial Hubble que tem um espelho de 2,4   m de diâmetro?

Considere a distância entre o Hubble e a Lua r = 380.000   k m e o comprimento de onda da luz λ = 400   n m (luz violeta).

Passo 1

Vamos considerar que o espelho do Hubble é semelhante a uma fenda esférica. Se juntarmos isso com o critério de Rayleigh para a resolução de dois objetos, vamos ficar com:

θ m í n = 1,22 λ a

Onde a é o diâmetro do espelho e θ m í n é a menor separação angular dos objetos que ainda permite que o Hubble os distingua.

Pelo enunciado:

  • λ = 400   n m = 4 ∙ 10 - 7   m
  • a = 2,4   m

θ m í n = 1,22 ∙ 4 ∙ 10 - 7 2,4 ≅ 2,0 ∙ 10 - 7   r a d

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Agora vamos fazer uma construção geométrica.

Podemos montar um triângulo retângulo usando os dois objetos que queremos resolver e a abertura angular θ m í n

Isso nos diz que a distância mínima D entre os dois objetos se relaciona com o ângulo por:

tan ⁡ θ m í n = D L

Sendo L = r = 380.000   k m = 38 ∙ 10 7   m a distância do Hubble até a lua.

Como o ângulo é bem pequeno, podemos aproximar tan ⁡ θ m í n ≈ θ m í n , e assim:

θ m í n ≅ D L

D ≅ 38 ∙ 10 7 ∙ 2,0 ∙ 10 - 7 ≅   76   m

É a menor distância entre os dois objetos na lua tal que o Hubble consiga resolvê-los.

Resposta

D ≅   76   m

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