Exercícios Resolvidos de Poder de Resolução e Critério de Rayleigh

USP, Física 4, P1 - 2015, Questão Q1

Luz de comprimento de onda de Equation de uma fonte pontual distante incide normalmente sobre um anteparo com uma fenda de largura Equation . O padrão de difração é observado numa tela a uma distância Equation do anteparo.

  1. Calcule a posição angular do primeiro e do segundo mínimos de difração com Equation (use a aproximação Equation ).
  2. Calcule a distância Equation do primeiro máximo lateral de difração em relação ao centro da figura de difração (veja a figura 1). Use a aproximação de que um máximo lateral está situado à meia distância dos mínimos adjacentes.
  3. Considere agora duas fontes pontuais idênticas, não coerentes, emitindo luz desse mesmo comprimento de onda ( Equation ), situadas à mesma distância Equation da fenda e separadas por Equation , conforme a figura 2. Determine a distância máxima Equation para que essas duas fontes estejam minimamente resolvidas na tela.

Passo 1

Letra a)

A condição para a formação de mínimos de difração no anteparo é:

Equation

Onde Equation

  • Equation é a largura da fenda
  • Equation é o comprimento de onda da luz

Temos então

Equation

Equation

O primeiro e o segundo mínimos correspondem a Equation e Equation respectivamente. Considerando a aproximação Equation , nós obtemos:

Equation

Equation

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Letra b)

Se considerarmos a aproximação de que o máximo de difração está exatamente no meio de dois mínimos, então para acharmos a posição do primeiro máximo lateral precisamos achar a posição do primeiro e segundo mínimos.

Pelo item anterior, temos que:

Equation

Equation

A posição de um dado mínimo pode ser calculada usando a tangente do ângulo:

Equation

Onde Equation é a distância entre a fenda e o anteparo. Usando a aproximação Equation , teremos:

Equation

Como o máximo vai estar no meio dos dois primeiros mínimos:

Equation

Ou seja, poderíamos ver apenas o ângulo médio entre os dois mínimos e achar a posição correspondente.

Equation

Equation

Passo 3

Letra c)

Como o máximo de difração está situado na reta que liga a fonte ao centro da fenda, podemos achar a distância entre os dois máximos:

Onde Equation é a distância entre os dois máximos.

Agora vem a sacada: Temos dois triângulos azuis, um com base Equation e um com base Equation . Os ângulos opostos à base dos dois são iguais, pois são opostos pelo vértice. Os outros dois ângulos de cada triângulo também são, porque Equation e Equation são paralelos.

Isso significa que os dois triângulos são semelhantes, e por isso suas bases e alturas são proporcionais umas às outras.

Equation

Passo 4

Pelo critério de Rayleigh, para ser possível resolver as duas fontes na tela, é necessário que o máximo de difração central de uma coincida com o primeiro mínimo de difração da outra.

Por isso, temos que ter Equation . Substituindo na equação para Equation

Equation

Resposta

Letra a)

Equation

Equation

Letra b)

Equation

Letra c)

Equation

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