Exercícios Resolvidos de Poder de Resolução e Critério de Rayleigh

Origem do Exercício

Um observador na Terra, munido de uma luneta astronômica de diâmetro d = 50   c m procura identificar estruturas geológicas na superfície de um planeta a uma distância da Terra D = 6,3 ∙ 10 8   k m .

A luneta contém 3 filtros ópticos que, agindo separadamente, permitem observar luz de λ 1 = 680   n m , λ 2 = 570   n m e λ 3 = 410   n m .

A menor distância L , em quilômetros, entre duas estruturas geológicas na superfície do planeta, para que elas possam ser distinguidas pelo observador na Terra, quando a luneta estiver equipada com o fitro óptico amarelo é igual a...?

Para que tenhamos a possibilidade de enxergar duas estruturas que estejam a uma distância menor que L , precisamos colocar um filtro de cor igual a...?

Passo 1

O filtro amarelo corresponde ao comprimento de onda λ 2 = 570   n m .

Pelo critério de resolução de Rayleigh, podemos dizer que, para as duas estruturas poderem ser distinguidas por um observador na Terra, é necessário que:

θ = 1,22 λ d

Nessa equação, λ é o comprimento de onda da luz usada e d é o diâmetro do orifício pelo qual se enxerga o outro planeta (a lente da luneta neste caso). Estamos considerando a aproximação de pequenos ângulos tan ⁡ θ ≈ sen ⁡ θ ≈ θ .

Ainda com essa aproximação:

L D = tan ⁡ θ ≅ θ = 1,22 λ d

Temos que L é a distância entre as estruturas geológicas e D é a distância da luneta até o planeta em questão.

Rearrumando, a distância mínima entre as estruturas é:

L = 1,22 λ D d = 1,22 ∙ 570 ∙ 10 - 9 ∙ 6,3 ∙ 10 11 0,5 = 876   204   m = 876 ,   204   k m

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Pela fórmula anterior, perceba que L é diretamente proporcional a λ . Isso nos diz que quanto menor o comprimento de onda usado, menor a distância que as estruturas podem estar uma da outra.

Então, para conseguirmos enxergar duas estruturas mais próximas que L precisamos usar o filtro com λ 3 = 410   n m (que corresponde à cor violeta).

Resposta

L = 876 ,   204   k m

Para que L seja menor, é necessário um filtro violeta, onde λ ≈ 410   n m .

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