Exercícios Resolvidos de Poder de Resolução e Critério de Rayleigh

Ver Teoria

Enunciado

A pupila do olho de uma pessoa tem um diâmetro de 5,00   m m . De acordo com o critério de Rayleigh, qual deve ser a distância entre dois pequenos objetos para que estejam no limite da resolução quando se encontram a 250   m m de distância do olho?

Suponha que o comprimento de onda da luz é 500   n m .

Passo 1

Vamos resolver este exercício de duas maneiras para poder compará-las.

Primeiro, consideremos que os ângulos envolvidos são muito pequenos. Assim, para encontrar a distância entre os dois pequenos objetos podemos usar direto a equação:

D = 1,22 ∙ λ d ∙ L

Onde λ = 500   n m = 500 ∙ 10 - 9   m é o comprimento de onda da luz, d = 5,00   m m =   0,005   m é o diâmetro da pupila da pessoa e L = 250   m m = 0,25   m é a distância dos objetos ao olho da pessoa.

A distância necessária entre os dois pequenos objetos para que estejam no limite da resolução vai ser:

D = 1,22 ∙ 500 ∙ 10 - 9 0,005 ∙ 0,25 ≅ 30,5 ∙ 10 - 6   m = 30,5   μ m

Passo 2

Agora, vamos evitar a consideração de pequenos ângulos.

Dessa forma, vamos primeiro precisar descobrir o menor ângulo entre os dois objetos para depois encontrar a distância entre eles.

Para o ângulo:

sen ⁡ θ = 1,22 λ d = 1,22 ∙ 500 ∙ 10 - 9 0,005 ≅ 122 ∙ 10 - 6  

θ = sen - 1 ⁡ 122 ∙ 10 - 6 ≅ 122 ∙ 10 - 6   r a d ≅ 0,007 °

O que já nos comprova que nossa aproximação de pequenos ângulos é suficientemente boa.

Passo 3

Para terminar, nós encontramos a distância entre os dois objetos pela tangente do ângulo.

tan ⁡ θ = D L

D = tan ⁡ θ ∙ L = tan ⁡ ( 122 ∙ 10 - 6   r a d ) ∙ 0,25 ≅ 30,5 ∙ 10 - 6   m = 30,5   μ m

Que é a mesma resposta que tínhamos encontrado antes.

Os dois caminhos são possíveis e têm suas vantagens, então você pode escolher o que você achar melhor.

O primeiro é mais rápido, mas é uma fórmula pronta, com a explicação embutida.

O segundo demora mais, mas você vai montando a fórmula e entendendo cada etapa (inclusive o problema pode pedir essas etapas em vários itens).

Resposta

D ≅ 30,5   μ m

Exercícios de Livros Relacionados

(a) Estime quão próximo um carro se aproximando à noite em uma rodovia plana e retilínea de uma auto-estrada pode estar antes que seus faróis sejam distinguidos de um único farol de uma motocicleta. (
Explique por que a habilidade para distinguir os dois farois de um carro vindo a certa distancia emaior para o olho humano a noite do que durante o dia.Considere que os farois do carro que se aproxima
O diâmetro do radiotelescópio em Arecibo, Porto Rico, é 300 m. Qual é a menor separação angular entre os dois objetos que este telescópio pode detectar quando está ajustado para detectar microondas de
O radar de um cruzador usa um comprimento de onda de 1,6 cm; a antena transmissora é circular, com um diâmetro de 2,3 m. A 6,2 km do cruzador, qual é a distância mínima que deve existir entre duas lan
Os telescópios de alguns satélites de reconhecimento comerciais (como os usados para obter as imagens do Google Earth) podem resolver objetos no solo com dimensões da ordem de 85c m e os telescópios d