Exercícios Resolvidos de Retrato de Fase e Classificação de Ponto Crítico – Caso Não Linear

PUC-RJ, Cálculo 3, P3 2013.2, Questão 1

Considere o problema abaixo que representa o comportamento de duas espécies (com densidades populacionais x ( t ) e y ( t ) ) competindo por suprimentos comuns.

d x d t = x 1 - x + 0,5 y

d y d t = y 2,5 - 1,5 y + 0,25 x

  1. Determine as singularidades e classifique-as.
  2. Esboçe as trajetórias do retrato de fase no primeiro quadrante.
  3. Para quais condições iniciais existe uma configuração de equilíbrio na qual nenhuma espécie desaparece, e qual é esta configuração?

Passo 1

Resolvendo a letra a)

Pra encontrar as singularidades, devemos igualar as derivadas d x d t e d y d t a zero! E encontrar valores de x e y que satisfaçam o sistema. Vamos lá:

d x d t = x 1 - x + 0,5 y = 0 →   x = 0   e   x = 1 + 0,5 y

d y d t = y 2,5 - 1,5 y + 0,25 x = 0

Com x = 0 :

y = 0

y = 5 3

Com x = 1 + 0,5 y

y = 0

2,5 - 1,5 y + 0,25 1 + 0,5 y = 0 → y = 2

Então, as singularidades são: 0,0 ,   0 , 5 3 ,   1,0 , 2,2 . E agora devemos classificá-las!!

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Pra classificá-las, devemos construir a matriz Jacobiana, J x , y que carrega as derivadas das expressões das populações em relação a x e y . Veja só:

J x , y = d d x d t d x d d x d t d y d d y d t d x d d y d t d y

E pra esse caso, a matriz J x , y será:

J x , y = 1 - 2 x + 0,5 y 0,5 x 0,25 y 2,5 - 3 y + 0,25 x

E utilizamos o critério de traço e determinante da matriz em cada singularidade pra classifica-las!

Pra 0,0 :

J 0,0 = 1 0 0 2,5

Portanto:

D e t J 0,0 = 2,5 > 0

T r J 0,0 = 3,5 > 0

Então, 0,0 é repulsor!

Pra 0 , 5 3 :

J 0 , 5 3 = 1 6 0 5 12 - 2,5

Portanto:

D e t J 0 , 5 3 = - 2,5 - 5 12 < 0

Então, 0 , 5 3 é sela!

Pra 1,0 :

J 1,0 = - 1 0,5 0 2,75

Portanto:

D e t J 1,0 = - 2,75 < 0

Então, 1,0 é sela!

Pra 2,2 :

J 2,2 = - 2 1 0,5 - 3

Portanto:

D e t J 2,2 = 6 - 0,5 > 0

T r J 2,2 = - 6 < 0

Então, 2,2 é atrator!

Passo 3

Resolvendo a letra b)

O retrato de fase será mais ou menos assim:

Passo 4

Resolvendo a letra c)

Como 2,2 é atrator, qualquer condição inicial fora dos eixos irá convergir pra solução de equilíbrio 2,2 . A única solução que não há extinção é a solução com dados iniciais 2,2 ! Condições iniciais sobre os eixos resultam na extinção de pelo menos uma das duas espécies.

Resposta

a)

0,0 → r e p u l s o r

0 , 5 3 → s e l a

1,0 → s e l a

2,2 → a t r a t o r

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