Exercícios Resolvidos de Retrato de Fase e Classificação de Ponto Crítico – Caso Não Linear

Ver Teoria

Enunciado

Considere o problema abaixo que representa o comportamento de duas espécies(com densidades populacionais x ( t ) e   y ( t ) ).

d x d t = x 1 , 5 - 0,5 y

d y d t = y - 0,5 + x

  1. Determine as singularidades e classifique-as.
  2. Suponha que as populações iniciais em um laboratório sejam x 0 = 2 e y 0 = 4 . Interprete a evolução das populações no tempo t .

Passo 1

Resolvendo a letra a)

Pra encontrar singularidades, devemos fazer:

d x d t = d y d t = 0

E resolvendo o sistema:

x 1,5 - 0,5 y = 0

y - 0,5 + x = 0

Encontraremos os pontos:

( 0,0 ) ,   1 2 , 3

Passo 2

Pra classificar as singularidades, devemos construir a matriz jacobiana J ( x , y ) e avalia-la em cada singularidade.

J x , y = 1,5 - 0,5 y - 0,5 x y - 0,5 + x

Pra 0,0 :

J 0,0 = 1 , 5 0 0 - 0,5

Teremos que:

D e t J 0,0 = - 0,75 < 0

E portanto 0,0 é uma sela hiperbólica!

Pra 1 2 , 3 :

J 1 2 , 3 = 0 0,25 3 0

Teremos que:

D e t J 1 2 , 3 = - 3 4 < 0

T r J 1 2 , 3 = 0

E portanto 1 2 , 3 é um centro!

Passo 3

Resolvendo a letra b)

Como o ponto x 0 , y 0 = 2,4 está no interior do primeiro quadrante, ou seja, não está sobre nenhum eixo, nenhuma das populações irá se extinguir. E pelo fato de ele não ser um ponto de centro, a solução que passa por ele é uma solução periódica, ou seja, as configurações de população irão se repetir infinitas vezes ao longo do tempo t .

Resposta

0,0 → s e l a

1 2 , 3 → c e n t r o

Exercícios de Livros Relacionados

Considere o elipsoide.Determine uma condição suficiente sobre c para que toda trajetória cruzando V(x, y, z) = c esteja orientada para dentro. Calcule a condição encontrada no caso em que σ = 10, b =
Considere o elipsoide.Calcule dV/dt ao longo das trajetórias das equações de Lorenz (1).
Desenhe um campo de direções e descreva como as soluções parecem se comportar.
Encontre os pontos críticos.
Considere o sistemaem que σ0. Note que esse sistema é uma modificação do sistema (2) no Exemplo 1.Determine o tipo e as propriedades de estabilidade de cada ponto crítico. Encontre o valor σ1