Exercícios Resolvidos de Retrato de Fase e Classificação de Ponto Crítico – Caso Não Linear

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Enunciado

Considere o problema abaixo que representa o comportamento de duas espécies(com densidades populacionais x ( t ) e   y ( t ) ) competindo por suprimentos comuns.

d x d t = x 1 - x - y

d y d t = y 1,5 - y - x

  1. Determine as singularidades e classifique-as.
  2. Esboce as trajetórias em uma vizinhança de cada singularidade no primeiro quadrante.
  3. Para quais condições iniciais existe uma configuração de equilíbrio na qual nenhuma espécie desaparece, e qual é esta configuração?

Passo 1

Resolvendo a letra a)

Pra encontrar singularidades, devemos fazer:

d x d t = d y d t = 0

E resolvendo o sistema:

x 1 - x - y = 0

y 1,5 - y - x = 0

Encontraremos os pontos:

( 0,0 ) ,   ( 1,0 ) ,   0 , 3 2

Passo 2

Pra classificar as singularidades, devemos construir a matriz jacobiana J ( x , y ) e avalia-la em cada singularidade.

J x , y = 1 - 2 x - y - x - y 1,5 - 2 y - x

Pra 0,0 :

J 0,0 = 1 0 0 1,5

Teremos que:

D e t J 0,0 = 1,5 > 0

T r J 0,0 = 2,5 > 0

E portanto 0,0 é uma fonte, ou seja, é repulsor!

Pra 1,0 :

J 1,0 = - 1 - 1 0 0,5

Teremos que:

D e t J 1,0 = - 0,1 < 0

E portanto 1,0 é uma sela hiperbólica!

Pra 0 , 3 2 :

J 0 , 3 2 = - 0,5 0 - 1,5 - 1,5

Teremos que:

D e t J 0 , 3 2 = 0,75 > 0

T r J 0 , 3 2 = - 2 < 0

E portanto 0 , 3 2 é um poço, ou seja, é atrator!

Passo 3

Resolvendo a letra b)

Passo 4

Resolvendo a letra c)

Visto que as singularidades ficam sobre os eixos, concluímos que não há nenhuma configuração de equilíbrio na qual as duas espécies sobrevivam!

Resposta

0,0 → r e p u l s o r

1,0 → s e l a

0 , 3 2 → a t r a t o r

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