Exercícios Resolvidos de Retrato de Fase e Classificação de Ponto Crítico – Caso Não Linear

Elaboração Própria

Determine os pontos críticos e o retrato de fase, indicando qual tipo de ponto é o ponto crítico, no sistema abaixo.

x ' = x 2 - y 2 - 2 y ' = x + 3 y

Passo 1

Vamos começar achando os pontos críticos fazendo x ' = 0 e y ' = 0

x 2 - y 2 - 2 = 0 x + 3 y = 0

Vamos isolar y na segunda equação

x = - 3 y

Substituindo na primeira equação vamos ter

- 3 y 2 - y 2 - 2 = 0

9 y 2 - y 2 - 2 = 0

8 y 2 = 2

y 2 = 2 8

y 2 = 1 4

y = ± 1 2

E vamos ter

x = ∓ 3 2

Os pontos críticos vão ser

3 2 , - 1 2         e         - 3 2 , 1 2

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Agora que temos os pontos vamos fazer a análise da matriz jacobiana, mas lembra como ela vai ficar?

Vamos ter

f 1 = x 2 - y 2 - 2

f 2 = x + 3 y

A matriz jacobiana vai ser

J = ∂ f 1 ∂ x ∂ f 1 ∂ y ∂ f 2 ∂ x ∂ f 2 ∂ y

J = 2 x - 2 y 1 3

Passo 3

Vamos começar analisando o ponto 3 2 , - 1 2 , o jacobiano nesse ponto vai ficar

J = 2 3 2 - 2 - 1 2 1 3 = 3 1 1 3

Vamos achar os autovalores desse cara

3 - λ 1 1 3 - λ = 0

3 - λ 3 - λ - 1 = 0

9 - 6 λ + λ 2 - 1 = 0

λ 2 - 6 λ + 8 = 0

Resolvendo isso vamos ter

λ 1 = - - 6 + - 6 2 - 4 1 8 2.1 = 6 + 36 - 32 2.1 = 6 + 4 2 = 6 + 2 2 = 8 2 = 4

λ 2 = - - 6 - - 6 2 - 4 1 8 2.1 = 6 - 36 - 32 2.1 = 6 - 4 2 = 6 - 2 2 = 4 2 = 2

Vamos ter dois autovalores reais, ambos sendo positivos então esse ponto crítico é um nó instável.

Passo 4

Vamos agora para o ponto - 3 2 , 1 2 , o jacobiano nesse ponto vai ficar

J = 2 - 3 2 - 2 1 2 1 3 = - 3 - 1 1 3

Vamos achar os autovalores desse cara

- 3 - λ - 1 1 3 - λ = 0

- 3 - λ 3 - λ - - 1 = 0

- 9 + 3 λ - 3 λ + λ 2 + 1 = 0

λ 2 - 8 = 0

λ = ± 8

Vamos ter

λ 1 = 8

λ 2 = - 8

Vamos ter dois autovalores reais, com sinais trocados, então esse ponto crítico vai ser um ponto de sela.

Resposta

Os pontos críticos são 3 2 , - 1 2 , que é um nó instável, e - 3 2 , 1 2 que é um ponto de sela.

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