Exercícios Resolvidos de Retrato de Fase e Classificação de Ponto Crítico – Caso Não Linear
Ver TeoriaEnunciado
Considere o problema abaixo que representa o comportamento de duas espécies (com densidades populacionais e ) competindo por suprimentos comuns.
- Determine as singularidades e classifique-as.
- Esboçe as trajetórias do retrato de fase no primeiro quadrante.
- Para quais condições iniciais existe uma configuração de equilíbrio na qual nenhuma espécie desaparece, e qual é esta configuração?
Passo 1
Resolvendo a letra a)
Pra encontrar as singularidades, devemos igualar as derivadas e a zero! E encontrar valores de e que satisfaçam o sistema. Vamos lá:
Com :
Com
Então, as singularidades são: . E agora devemos classificá-las!!
Passo 2
Pra classificá-las, devemos construir a matriz Jacobiana, que carrega as derivadas das expressões das populações em relação a e . Veja só:
E pra esse caso, a matriz será:
E utilizamos o critério de traço e determinante da matriz em cada singularidade pra classifica-las!
Pra
Portanto:
Então, é repulsor!
Pra :
Portanto:
Então, é sela!
Pra :
Portanto:
Então, é sela!
Pra :
Portanto:
Então, é atrator!
Passo 3
Resolvendo a letra b)
O retrato de fase será mais ou menos assim:
Passo 4
Resolvendo a letra c)
Como é atrator, qualquer condição inicial fora dos eixos irá convergir pra solução de equilíbrio . A única solução que não há extinção é a solução com dados iniciais ! Condições iniciais sobre os eixos resultam na extinção de pelo menos uma das duas espécies.
Resposta
a)
Exercícios de Livros Relacionados
Ver Mais
Ver Mais
Ver Mais
Ver Mais
Ver Mais