Exercícios Resolvidos de Retrato de Fase e Classificação de Ponto Crítico – Caso Não Linear

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Enunciado

Considere o seguinte modelo que pode ser interpretado como a interação entre duas espécies.

d x d t = x - 0,5 x y

d y d t = - 0,5 y + x y

  1. Ache as singularidades do sistema e classifique-as
  2. Esboce o retato de fase do sistema
  3. Quais são as trajetórias que tem limite quando t tende a + ∞ e que configurações representam no modelo?

Passo 1

a )

Vamos começar achando os pontos críticos fazendo d x d t = 0 e d y d t = 0

x - 0,5 x y = 0 - 0,5 y + x y = 0

Podemos reescrever essas duas equações como

x 1 - 0,5 y = 0 y - 0,5 + x = 0

Pela primeira equação vamos ter

x = 0           o u           1 - 0,5 y = 0

x = 0           o u           0,5 y = 1

x = 0           o u           y = 2

Substituindo o valor de x na segunda equação vamos ter

y - 0,5 + 0 = 0

- 0,5 y = 0

y = 0

Então um ponto seria

0,0

O outro ponto seria

2 - 0,5 + x = 0

- 0,5 + x = 0

x = 0,5

E o outro ponto seria

1 2 , 2

Passo 2

Agora que temos os pontos vamos fazer a análise da matriz jacobiana, mas lembra como ela vai ficar?

Vamos ter

f 1 = x - 0,5 x y

f 2 = - 0,5 y + x y

A matriz jacobiana vai ser

J = ∂ f 1 ∂ x ∂ f 1 ∂ y ∂ f 2 ∂ x ∂ f 2 ∂ y

J = 1 - 0,5 y - 0,5 x y - 0,5 + x

Passo 3

Vamos começar analisando o ponto 0,0 , o jacobiano nesse ponto vai ficar

J = 1 - 0,5 ∙ 0 - 0,5 ∙ 0 0 - 0,5 + 0 = 1 0 0 - 0.5

Vamos achar os autovalores desse cara

1 - λ 0 0 - 0,5 - λ = 0

1 - λ - 0,5 - λ - 0 = 0

1 - λ - 0,5 - λ = 0

Resolvendo isso vamos ter

λ 1 = 1

λ 2 = - 0,5

Vamos ter dois autovalores reais, Com sinais trocados, neste caso o ponto crítico é chamado de ponto de sela.

Passo 4

Vamos agora para o ponto 1 2 , 2 , o jacobiano nesse ponto vai ficar

J = 1 - 0,5 ∙ 2 - 0,5 ∙ 1 2 2 - 0,5 + 1 2 = 1 - 1 - 1 4 2 0 = 0 - 1 4 2 0

Vamos achar os autovalores desse cara

- λ - 1 4 2 - λ = 0

- λ - λ - - 1 4 2 = 0

λ 2 + 1 2 = 0

λ 2 = - 1 2

λ = ± - 1 2

Como temos o negativo isso é um número complexo

λ = ± 1 2 i

Vamos ter dois autovalores complexos sem a parte real, ou seja complexos puros, então esse ponto crítico vai ser um Centro.

Passo 5

b )

O retrato de fase do ponto crítico que é um centro é de boa de fazer, basta fazer alguns círculos, lembrando que esse ponto é 1 2 , 2 , o retrato de fase é algo parecido com isso

Esse desenho está descentralizado porque o centro é o ponto da singularidade é não é a origem, é 1 2 , 2

Passo 6

Para o outro como depois ele quer a analise vamos achar os autovetores desses caras, vai ser tranquilo nesse caso. Temos que resolver a seguinte equação para cada autovalor

J v = λ I v

Primeiro para λ 1 = 1 , vamos ter v 1 sendo

v 1 = v 1 x v 1 y

1 0 0 - 0.5 v 1 x v 1 y = 1 1 0 0 1 v 1 x v 1 y

v 1 x = v 1 x

- 0,5 v 1 y = v 1 y

Dessa forma devemos ter v 1 y sendo 0 . O autovetor vai ficar

v 1 = v 1 x 0

Podemos tirar esse v 1 x

v 1 = 1 0

Vamos ao outro autovetor, para λ 2 = - 1 4

v 2 = v 2 x v 2 y

1 0 0 - 0.5 v 2 x v 2 y = - 1 2 1 0 0 1 v 2 x v 2 y

v 2 x = - 1 2 v 2 x

- 0,5 v 1 y = - 1 2 v 1 y

Dessa forma devemos ter v 2 x sendo 0 . O autovetor vai ficar

v 2 = 0 v 2 y

Podemos tirar esse v 2 y

v 2 = 0 1

Então aqueles eixos do retrato de fase são os próprios eixos x e y .

Passo 7

O tratado de fase de 0,0 vai ficar

Passo 8

c )

As trajetórias que tem limite são aquelas linhas verdes, que são as soluções que contém o ponto crítico. Nesses casos é uma linha que começa no infinito de y e vai até a singularidade, podemos perceber que x = 0 nesse caso, e vamos ter o valor de y tendendo a 0 .

Sempre que tiver uma parada dessa vamos procurar as linhas que contém a singularidade, que é o ponto crítico.

Resposta

Os pontos críticos são 0,0 , que é um ponto de sela, e o ponto 1 2 , 2 que é um ponto de centro.

Retrato de fase de 1 2 , 2

Retrato de fase do ponto de centro.

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