Exercícios Resolvidos de Tensão Normal Média

Russell Charles Hibbeler, Resistência dos Materiais, 7ª ed. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2010, pp. 27-1.44.

A luminária de 250   N é sustentada por três hastes de aço interligadas por um anel em A . Determine o ângulo de orientação θ de A C de modo que a tensão normal média na haste A C seja duas vezes a tensão normal média na haste A D .

Qual é a intensidade da tensão em cada haste? O diâmetro de cada haste é dado na figura.

Passo 1

Galera, para começar esse problema que tal fazermos um diagrama de corpo livre? O ponto A está sobre ação de três forças de tração:

O valor de uma dessas forças foi dado pelo exercício: a haste A B deve exercer uma força de tração suficiente para sustentar a luminária de 250   N no ponto B . Isso significa que:

T A B = 250   N

A partir daí vamos analisar quais serão as tensões internas e também vamos utilizar um pouquinho de trigonometria para resolver este problema, beleza?

Lembre-se que o exercício quer saber qual o ângulo θ para que σ A C = 2 * σ A D . O exercício também quer saber os valores de σ A B , σ A C e σ A D nesse caso.

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Passo 2

Que tal lembramos agora então a definição da tensão normal? É basicamente a força normal sobre a área:

σ = N A

Gente, nesse caso as trações T são as próprias forças normais ok? Porque atuam no sentido axial. E são todas trativas porque esticam as hastes. Então vamos ter o seguinte:

Show de bola!

Mais e aí? Como vamos encontrar θ ?

  1. Vamos ter que fazer o equilíbrio de forças no ponto A . Isso vai gerar um sistema de equações.
  2. Desse sistema de equações vamos encontrar N A C , N A D em função de θ ;
  3. Com isso e com as áreas A A C e A A D já calculadas, vamos encontrar σ A C e σ A D também em função de θ ;
  4. Finalmente, vamos usar a relação σ A C = 2 * σ A D para encontrar o valor de θ !

Passo 3

Agora é hora do equilíbrio de forças no ponto A :

Com ajuda da imagem acima, conseguimos fazer o equilíbrio de forças na vertical e na horizontal.

Só precisamos tomar o cuidado de decompor devidamente as forças N A D e N A C em suas componentes em x e em y !

Para a vertical, o equilíbrio de forças fica assim:

∑ F V = 0

N A D y + N A C y - N A B = 0

N A D y + N A C y = N A B

Calculando as componentes e substituindo N A B = 250   N :

N A D * s e n   45 ° + N A C * s e n   θ = 250   N

Vamos guardar essa equação para o nosso futuro sistema de equações!

E agora, o equilíbrio de forças para a horizontal:

∑ F H = 0

N A C x - N A D x = 0

N A C x = N A D x

Calculando as componentes:

N A C * cos ⁡ θ = N A D * cos ⁡ 45 °

Com isso, nosso sistema de equações fica pronto:

N A D * s e n   45 ° + N A C * s e n   θ = 250   N N A C * cos ⁡ θ = N A D * cos ⁡ 45 °

Substituindo os valores de s e n ( 45 ° ) e c o s ⁡ ( 45 ° ) nós vamos ter:

N A D * 0,707 + N A C * s e n   θ = 250   N N A C * cos ⁡ θ = N A D * 0,707

Reorganizando:

N A C * s e n   θ = 250 - N A D * 0,707 N A C * cos ⁡ θ = N A D * 0,707

Passo 4

Pessoal, até dá para resolver esse sistema “na marra” mas vamos fazer de uma forma mais esperta. Para isso vamos trazer a seguinte relação:

σ A C = 2 * σ A D

Agora temos de calcular as áreas. As áreas A A B , A A C e A A D podem ser calculadas a partir dos diâmetros d A B = 9   m m , d A C = 6   m m e d A D = 7,5   m m .

Começando pelo cálculo das áreas A das seções transversais usando a fórmula da área circular π d 2 / 4 :

A A B = π d A B 2 / 4

A A C = π d A C 2 / 4

&

A A D = π d A D 2 / 4

Substituindo o valor dos diâmetros:

A A B = π 9   m m 2 / 4   ⇒ A A B = 63,6   m m 2  

A A C = π 6   m m 2 / 4   ⇒ A A C = 28,3   m m 2

&

A A D = π 7,5   m m 2 / 4   ⇒ A A D = 44,2   m m 2

Então se a gente substituir essas áreas na relação de tensões vamos ter:

σ A C = 2 * σ A D

N A C A A C = 2 * N A D A A D

N A C 28,3   = 2 * N A D 44,2  

N A C = 1,281 N A D

Agora olha só o nosso sistema:

N A C * s e n   θ = 250 - N A D * 0,707 N A C * cos ⁡ θ = N A D * 0,707

Substituindo a relação entre N A C e N A D encontrada na segunda equação vamos ter:

N A C * cos ⁡ θ = N A D * 0,707

( 1,281 N A D ) * cos ⁡ θ = N A D * 0,707

Logo,

cos ⁡ θ = 0,552

θ = arccos ⁡ 0,552 = 56,5 °

Então já achamos a primeira parte do problema que é achar o ângulo θ . Agora temos de encontrar as tensões.

Passo 5

Com o ângulo θ encontrado, agora só falta calcular as tensões em cada haste. Para isso vamos precisar das tensões N A D e N A C . Para isso vamos substituir no nosso sistema:

N A C * s e n   θ = 250 - N A D * 0,707 N A C * cos ⁡ θ = N A D * 0,707

Nós já sabemos que

N A C = 1,281 N A D

Então vamos substituir na primeira equação junto com o valor do s e n ( θ ) :

N A C * s e n   θ = 250 - N A D * 0,707

( 1,281 N A D ) * 0,834 = 250 - N A D * 0,707

N A D = 140,83   N

E o valor de N A C será dado por:

N A C = 1,281 × 140,83 = 180,40   N

Passo 6

Agora é só utilizar a equação da tensão normal média. Usando a fórmula da tensão normal média para a tensão na haste A B , σ A B :

σ A B = N A B A A B

Substituindo os valores N A B = 250   N e A A B = 63,6   m m 2 :

σ A B = 250   N 63,6   m m 2

σ A B = 3,93   M P a

Para σ A C vamos ter:

σ A C = N A C A A C

Nós já temos a área e a força N A C :

A A C = 28,3   m m 2

N A C = 180,40   N

Substituindo:

σ A C = 180,40 28,3.10 - 6

σ A C = 6,37   M P a

E para σ A D :

σ A D = N A D A A D

A área e força são dadas por:

A A D = 44,2   m m 2

N A D = 140,83   N

Substituindo:

σ A D = 140,83 44,2.10 - 6

σ A D = 3,19   M P a

Resposta

θ = 56,5 °

σ A B = 3,93   M P a

σ A C = 6,37   M P a

σ A D = 3,19   M P a

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