Exercícios Resolvidos de Tensão Normal Média

Ferdinand P. Beer et al., Mecânica dos materiais, 5ª ed. Porto Alegre: AMGH, 2011, pp. 38-1.5.

Um medidor de deformação localizado em C na superfície do osso A B indica que a tensão normal média no osso é 3,80   M P a , quando o osso está submetido a duas forças de 1200   N como mostra a figura.

Supondo que a seção transversal do osso em C seja anular e sabendo que seu diâmetro externo é 25   m m , determine o diâmetro interno da seção transversal do osso em C .

Passo 1

As duas forças de 1200   N geram esforços internos dentro do osso. Podemos fazer uma seção em C e ver como, para garantir o equilíbrio, o esforço interno normal N é igual a 1200   N .

Esse esforço interno gera uma tensão normal média σ = 3,80   M P a na seção transversal C , que possui um formato de anel, como mostra a figura abaixo:

O exercício nos pede para descobrir o valor do diâmetro interno d i n t .

Precisamos primeiro encontrar qual é a área A que a seção transversal C deve ter, e, em seguida, relacionar essa área com d i n t .

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Para que o esforço interno N gere uma tensão σ , a seção transversal deve ter uma determinada área A , como mostra a fórmula da tensão normal média:

σ = N A

Isolando a área A :

A = N σ = 1200   N 3,80   M P a = 315,8   N M P a

Como 1 M P a = 1 N / m m 2 :

A = 315,8   m m 2

Vamos guardar esse resultado!

Passo 3

A área da seção transversal C é igual a área do círculo maior menos a área do círculo menor.

Mas lembra aí, a área do círculo é π R 2 , onde R é o raio do círculo. Como o raio é metade do diâmetro, podemos reescrever essa área do círculo como π d / 2 2 , ou, melhor ainda, π d 2 / 4 !

Assim conseguimos calcular as áreas dos círculos maior e menor, e, consequentemente, calcular a área da seção, que é a diferença entre as áreas do círculo:

A = π d e x t 2 4 - π d i n t 2 4

A = π d e x t 2 - d i n t 2 4

Queremos encontrar d i n t , então vamos isolá-lo!

4 A π = d e x t 2 - d i n t 2

d i n t 2 =   d e x t 2 - 4 A π

d i n t = d e x t 2 - 4 A π

Substituindo o valor fornecido de d e x t e o valor encontrado para a área A :

d i n t = 25   m m 2 - 4 ( 315,8   m m 2 ) π

Calculando tudo, isso dá:

Resposta

d i n t = 14,9   m m

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