Exercícios Resolvidos de Tensão Normal Média

Lista de Exercício - Prof. Willian - Universidade Catolica Dom Bosco - Exercicio 1.36.

A luminária de 50   l b f é suportada por duas hastes de aço acopladas por um anel em A . Determinar qual das hastes está sujeita à maior tensão normal média e calcular seu valor. Sabemos que θ = 60 ° . O diâmetro de cada haste é dado na figura.

Passo 1

Para descobrir qual haste está sujeita à maior tensão normal média, vamos precisar calcular a tensão em cada haste.

Então, para calcular essas tensões σ = N / A , vamos precisar da força interna N em cada haste e da área A da seção transversal de cada haste.

As hastes estão sendo tracionadas para suportar o peso da luminária P = 50   l b f . Se fizermos um equilíbrio de forças no ponto A , vamos descobrir o valor das forças de tração T nas hastes:

Como as hastes só sofrem essas forças de tração, podemos garantir que as forças internas N serão iguais a essas forças de tração. Daí encontramos que N A B = T A B e N A C = T A C .

Já para encontrar as áreas A A B e A A C , vamos ter que usar os diâmetros fornecidos: d A B = 0,5   p o l e d A C = 0,4   p o l .

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Para encontrar as forças de tração T e consequentemente as forças internas N , vamos voltar para o diagrama de forças no ponto A :

Lembra aí, o equilíbrio de forças acontece quando o somatório de forças é igual a zero ( F = 0 ).

Um jeito de ver isso é vendo se a soma das forças na vertical dá zero ( F V = 0 ) e se a soma das forças na horizontal dá zero ( F H = 0 ).

Para fazer essas somas, vamos ter que decompor as trações em suas componentes verticais e horizontais.

Isso significa ter que usar seno e cosseno para encontrar essas componentes, como mostra a imagem abaixo:

Passo 3

Com a decomposição das forças já feita, agora podemos fazer os equilíbrios de forças na vertical e na horizontal!

Equilíbrio de forças na vertical:

F V = 0

Como na vertical temos as componentes verticais de T A B e T A C apontando para cima e a força peso P apontando para baixo, essa expressão acima fica assim:

T A B y + T A C y - P = 0

T A B y + T A C y = P

Como encontramos na decomposição das trações que T A B y = T A B * s e n   30 ° e T A C y = T A C * s e n   60 ° :

T A B * s e n   30 ° + T A C * s e n   60 ° = P

1 2 T A B + 3 2 T A C = P

Vamos guardar essa equação por enquanto!

Em seguida vem o equilíbrio de forças na horizontal:

F H = 0

Como na horizontal temos a componente horizontal de T A C apontando para a direita e a componente horizontal de T A B apontando para a esquerda:

T A C x - T A B x = 0

T A C x = T A B x

Substituindo os valores T A C x = T A C * cos 60 ° e T A B x = T A B * cos 30 ° encontrados na decomposição de forças :

T A C * cos 60 ° = T A B * cos 30 °

1 2 T A C = 3 2 T A B

Vamos também guardar essa equação!

Passo 4

As duas equações que guardamos no passo anterior compõem um sistema de equações:

1 2 T A B + 3 2 T A C = P 1 2 T A C = 3 2 T A B

Se resolvermos esse sistema, encontraremos T A B e T A C (e consequentemente N A B e N A C !)

Bora resolver!

Da segunda equação, encontramos que:

T A C = 3 * T A B

Substituindo esse valor de T A C na primeira equação:

1 2 T A B + 3 2 3 * T A B = P

1 2 T A B + 3 2 T A B = P

2 T A B = P

T A B = P / 2

Como P = 50   l b f :

T A B = 25   l b f

Substituindo esse valor na segunda equação do sistema:

1 2 T A C = 3 2 ( 25   l b f )

T A C = 3 * 25   l b f

T A C = 43,3   l b f

Pronto! Agora podemos dizer que encontramos N A B = T A B = 25   l b f e N A C = T A C = 43,3   l b f !

Passo 5

Calculando as áreas das seções transversais das hastes com a fórmula A = π d 2 / 4 :

A A B = π d A B 2 / 4

&

A A C = π d A C 2 / 4

Como d A B = 0,5   p o l :

A A B = π 0,5   p o l 2 / 4

A A B = 0,196   p o l 2

E como d A C = 0,4   p o l :

A A C = π 0,4   p o l 2 / 4

A A C = 0,126   p o l 2

Passo 6

Temos as forças internas N e as áreas A ! Hora de calcular as tensões:

σ A B = N A B A A B

&

σ A C = N A C A A C

Substituindo os valores encontrados nos últimos dois passos:

σ A B = 25   l b f 0,196   p o l 2 = 128 l b f p o l 2

&

σ A C = 43,3   l b f 0,126   p o l 2 = 344 l b f p o l 2

Passo 7

Calculadas as tensões, vemos como a maior tensão é σ A C = 344   l b f / p o l 2 , mas, antes de anunciar o resultado do problema, temos mais uma coisa para observar!

Existe uma unidade utilizada para pressão e tensão chamada p s i . O nome dessa unidade vem do inglês pounds(-force) per square inch.

Traduzindo para o português, fica libras-força por polegadas ao quadrado, que é exatamente o que temos no nosso resultado.

Isso significa que podemos reescrever nosso resultado assim:

σ A C = 344   p s i

Resposta

σ m á x = σ A C = 344   p s i

Esse conteúdo é exclusivo para cadastrados.

Cadastre-se grátis no maior portal de exatas do Brasil!

Relaxa, não vamos publicar nada no seu nome.

  • Resumões direto ao ponto
    Resumões
    direto ao ponto
  • Exercícios resolvidos passo a passo
    Exercícios resolvidos
    passo a passo
  • Videoaulas incríveis
    Videoaulas
    incríveis
  • Aulões Salva-Vidas
    Aulões
    Salva-Vidas