Exercícios Resolvidos de Tensão Normal Média

Ferdinand P. Beer et al., Mecânica dos materiais, 5ª ed. Porto Alegre: AMGH, 2011, pp. 39-1.8.

Sabendo que a porção central da barra B D tem uma área de seção transversal uniforme de 800   m m 2 , determine a intensidade da carga P para qual a tensão normal naquela parte de B D é 50   M P a .

Passo 1

Inicialmente, vamos ignorar o desenho e começar prestando atenção no enunciado do exercício.

A barra B D possui uma tensão normal média σ B D = 50   M P a e uma área de seção transversal A B D = 800   m m 2 .

Com essas informações, nós podemos aplicar a equação da tensão normal média ( σ = N / A ) na barra B D para encontrar a força normal interna N B D :

σ B D = N B D / A B D

N B D = σ B D * A B D

Só tem um problema, o exercício não quer saber o valor da força N B D na situação em que σ B D = 50   M P a , ele quer saber o valor da força P nessa situação.

Então vamos observar o desenho: como é que a força P se relaciona com o que está ocorrendo na barra B D ?

A barra B D está apoiando a barra curva A B C , contribuindo de alguma forma para o seu equilíbrio.

Esse apoio se dá através de uma força de apoio F B que pode estar na direção da barra B D ou em outra direção, como mostra a imagem:

Como a barra B D deve se manter em equilíbrio, concluímos que F B está na direção da barra.

Por outro lado, como a barra curva A B C deve se manter em equilíbrio, a força F B D deve gerar, em relação ao ponto C , um momento contrário ao momento gerado pela força P .

Esse equilíbrio de momentos vai relacionar P e F B .

Mas espera aí, a força F B , desse jeito, na direção da barra B D , realizando compressão, gera uma força interna normal N B D de mesma intensidade:

F B = N B D

Então o equilíbrio de momentos vai nos permitir relacionar P e N B D .

E N B D nós já vamos ter descoberto usando a equação da tensão normal média e assim vamos resolver o exercício!

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Vamos começar calculando a força interna N B D a partir da equação da tensão normal média:

σ B D = N B D / A B D     N B D = σ B D * A B D

Como σ B D = 50   M P a e A B D = 800   m m 2 :

N B D = ( 50   M P a ) ( 800   m m 2 )

Lembrando que M P a = N / m m 2 , chegamos ao resultado:

N B D = 40000   N = 40   k N

Passo 3

O próximo passo é relacionar P e F B = N B D = 40   k N através do equilíbrio de momentos da barra curva A B C .

Para fazer isso, vamos desenhar o Diagrama de Corpo Livre de A B C :

Para fazer o equilíbrio de momentos em relação ao ponto C , vamos querer decompor a força F B em suas componentes vertical e horizontal, para que os seus braços sejam fáceis de calcular.

Para facilitar o cálculo do braço da força P , já vamos também deixar calculado a distância entre as linhas horizontais que passam pelos pontos A e B .

Com essas duas mudanças, o diagrama de corpo livre de A B C fica assim:

Realizando o equilíbrio de momentos em relação ao ponto C :

M C = 0

P 0,7   m + 1,4   m - F B x 1,4   m - F B y 1,4   m = 0

P 2,1   m = ( 1,4   m ) ( F B x + F B y )

P = 2 3 ( F B x + F B y )

Substituindo F B x = ( 40   k N ) * c o s   θ e F B y = ( 40   k N ) * s e n   θ :

P = 2 3 ( 40   k N ) ( s e n   θ + cos θ )

A única coisa que nos falta agora é encontrar os valores de s e n   θ e c o s   θ .

Passo 4

O ângulo θ é o ângulo que a força F B faz em relação à horizontal, e, consequentemente, é o ângulo que a barra B D faz em relação a horizontal:

Dessa imagem, podemos calcular o valor de seno e cosseno de θ em função do comprimento B D - da barra:

s e n   θ = 1,92 / B D -

&

c o s   θ = 0,56 / B D -

O valor de B D - pode ser encontrado pelo teorema de Pitágoras:

B D - 2 = 1,92 2 + 0,56 2

B D - 2 = 4

B D - = 2

Com isso, encontramos s e n   θ e c o s   θ :

s e n   θ = 1,92 2 = 0,96

&

c o s   θ = 0,56 2 = 0,28

Passo 5

Voltando para a equação que tínhamos encontrado anteriormente:

P = 2 3 40   k N s e n   θ + cos θ

Substituindo os valores de s e n   θ e c o s   θ :

P = 2 3 40   k N 0,96 + 0,28

Resposta

P = 33,1   k N

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