Exercícios Resolvidos de Tensões em Planos Oblíquos

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Enunciado

A barra abaixo foi submetida ao carregamento mostrado. Sabendo que o plano indicado na figura apresenta resistência ao cisalhamento de 893 KPa e resistência ao normal de 810 KPa, e que a seção da peça é quadrada com lado 37cm. Determine se os esforços mostrados seriam suficientes para romper a peça.

Passo 1

Para resolver essa questão temos que tomar alguns cuidados. O primeiro é colocar todas as cargas fora do centro, no centro da peça, isso vai facilitar as contas que estamos fazendo.

Vamos primeiro resolver as cargas da ponta.

Agora precisamos levar as cargas inclinas para o centro também, mas antes de fazer isso vamos fazer a decomposição desses vetores em duas parcelas, uma horizontal e uma vertical.

Usando as relações trigonométricas teremos que

S e n   45 ° = V 180

V = 180   .   S e n 45 ° = 127,3   K N

C o s   45 ° = H 180

H = 180   .   C o s   45 ° = 127,3   K N

Como já sabemos, temos que levar essas cargas para o meio da peça, mas note o seguinte, as cargas horizontais se somam, mas as cargas verticais se anulam, logo teremos que

Em seguida devemos destacar o plano que estaremos calculando as tensões, isso é importante pois é exatamente ele que nos ajudará a resolver a questão, logo temos que ter certeza de onde estamos fazendo a conta.

Passo 2

Agora já sabemos qual o plano que devemos calcular, assim como a sua orientação, mas que forças agem nele?

É bem fácil pegar esse esquema, é só você olhar a imagem anterior e se perguntar o seguinte. Quais forças estão faltando? Ou seja, que forças eu estava aplicando na minha peça e que não estão mais aparecendo? Serão exatamente essas forças que estarão agindo no nosso plano, e elas estão representadas aqui em baixo

Mas e aquele 20KN que sempre esteve antes do plano que estamos calculando?

Ele não entrará na conta, pois pelo nosso macete, só estará agindo no plano as forças que eu tirei quando destaquei o nosso plano a 45°, isso é uma pegadinha, se você estiver distraído pode acabar somando esse 20 KN sem querer, então toma cuidado com isso.

Como só temos esses três carregamentos agindo vamos transforma-los em um único vetor.

Passo 3

Agora já sabemos o plano que está agindo assim como o carregamento. Agora precisamos fazer uma decomposição de vetores. Um vetor será perpendicular ao plano, ou seja, normal ao plano, logo podemos calcular com ele a nossa tensão normal. O outro vetor será paralelo ao plano, ou podemos dizer que causará um esforço cortante, nesse caso essa força nos dará a tensão cisalhante. Dessa forma teremos que

E qual será o ângulo entre esses vetores? Basta usarmos a orientação do nosso plano, a sequência de passos abaixo nos mostra como fazer isso

Agora precisamos calcular os esforços normais e cisalhantes pela trigonometria do nosso triangulo. Logo teremos que

S e n   45 ° = N 225,6

N = 225,6   .   S e n   45 ° = 160   K N

C o s   45 ° = V 225,6

V = 225,6   .   C o s   45 ° = 160   K N

Passo 4

Agora que já temos os esforços, falta determinarmos as tensões, sabemos que a fórmula para tensão é

σ = N A

τ = V A

Mas temos que tomar muito cuidado, porque essa área não é da seção transversal, mas da seção do plano orientado a 45°, como calcularemos essa área?

Basta apenas olharmos a seção da seguinte maneira

Podemos ver que a relação entre área transversal e área da seção pode se dar por uma relação trigonométrica.

S e n   45 ° = A t r a n s v e r s a l A s e ç ã o   p l a n o

No enunciado é dito que a seção da nossa peça é 37x37 cm, logo teremos que

A t r a n s v e r s a l = 3 7   x   3 7 = 1369 c m 2 = 0,1369 m 2

Substituindo na nossa equação teremos que

A s e ç ã o   p l a n o = 0,1369 S e n   45 ° = 0,1936 m 2

Passo 5

Agora só precisamos determinar as nossas tensões, temos que

A s e ç ã o   p l a n o = 0,1 936 m 2

N = 160   K N

V = 160   K N

σ = N A

τ = V A

Substituindo

σ = 160 0 , 1936 = 826,5 K N m 2 = 826,5   K P a

τ = 160 0,1 936 = 826,5 K N m 2 = 826,5   K P a

Como foi dito no enunciado que a resistência ao normal é de 810 KPa e a resistência ao cisalhamento é de 893 KPa, vemos que a peça resistiria a tensão cisalhante já que

τ a d m = 893 K P a >   τ = 826,5   K P a

Porém a peça romperia devido a tensão normal, já que

σ a d m = 8 10 K P a <   σ = 826,5   K P a

Logo a resposta é que a peça rompe devido ao esforço normal

Resposta

A tensão cisalhante não rompe a peça

τ a d m = 893 K P a >   τ = 826,5   K P a

Mas a tensão normal rompe a peça

σ a d m = 810 K P a <   σ = 826,5   K P a

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