Exercícios Resolvidos de Tensões em Planos Oblíquos

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Enunciado

Um corpo de prova sob tração com área de seção transversal A é submetido a uma força axial P . Determine a tensão de cisalhamento média máxima no corpo de prova e indique a orientação θ de uma seção na qual ela ocorre.

Passo 1

O que está acontecendo?

Dependendo da orientação θ de uma seção qualquer desse corpo de prova, essa seção vai ter:

  • Uma certa força interna cortante V , calculada a partir da força externa P e do ângulo θ através de uma análise de esforços internos na seção;
  • E uma certa área A ' , calculada a partir do ângulo θ e da área A da seção transversal do corpo de prova.

Então dependendo da orientação θ de uma seção qualquer do corpo, essa seção vai ter uma certa tensão cisalhante média τ = V / A ' .

E o que é que o exercício quer?

Ele quer que a gente descubra:

  • A tensão cisalhante média máxima τ m á x nessa peça;
  • E a orientação θ de uma seção onde essa tensão máxima τ m á x ocorre.

Para fazer isso, temos que calcular V , A ' e τ em função do ângulo θ .

Daí, vamos poder ver τ em função de θ como uma função:

τ ( θ )

para, em seguida, analisar os máximos dessa função.

Passo 2

Vamos começar calculando a força cortante V em função do ângulo θ .

Fazendo uma análise de esforços internos em uma seção qualquer, vamos encontrar uma força normal N e uma força cortante V .

Para o equilíbrio das peças, a resultante dessas forças internas N e V deve ser igual à força externa P :

Desenhando corretamente o ângulo θ nessa figura acima e usando seno & cosseno, encontramos que:

V = P * c o s   θ

Passo 3

Precisamos calcular também a área A ' de uma seção qualquer em função da sua orientação θ .

Podemos usar o ângulo θ para relacionar a área A ' da seção qualquer com a área A da seção transversal:

Assim, obtemos que:

A ' = A sen ⁡ θ

Passo 4

Agora que V e A ' foram calculados para uma seção qualquer em função da sua orientação θ , podemos calcular a tensão cisalhante média em função de θ :

τ ( θ )

Aplicando a fórmula da tensão cisalhante média para a seção qualquer:

τ θ = V A '

Substituindo as expressões encontradas para V e A ' nos passos anteriores:

τ θ = P * c o s   θ A sen ⁡ θ

Reorganizando essa expressão, temos:

τ ( θ ) = P A sen ⁡ θ c o s   θ

Passo 5

Agora que temos a função τ ( θ ) , precisamos analisar os seus máximos para encontrar τ m á x .

Para fazer isso, vamos nos lembrar um pouco de cálculo...

Uma função tem seus pontos críticos (pontos de máximo ou de mínimo) quando a sua primeira derivada é igual a zero.

Aplicando isso para a nossa função, temos:

d τ θ d θ = 0

Substituindo a expressão que tínhamos encontrado para τ ( θ ) :

d P A sen ⁡ θ c o s   θ d θ = 0

Como P e A são constantes, podemos tirar esses termos da derivada:

P A   d sen ⁡ θ c o s   θ d θ = 0

Dividindo os dois lados por P / A , esses termos somem:

d sen ⁡ θ c o s   θ d θ = 0

Sabendo que:

  • u v ' = u ' v + u v ' (Regra do Produto);
  • sen ⁡ θ ' = cos ⁡ θ ;
  • E cos ⁡ θ ' = - s en ⁡ θ ,

Essa derivada fica assim:

c o s 2 θ - s e n 2 θ = 0

O que significa que:

c o s 2 θ = s e n 2 θ

O primeiro ângulo com seno e cosseno iguais que conhecemos é o ângulo de 45 ° .

O que significa que θ = 45 ° é a orientação de uma seção em que a tensão cisalhante é máxima!

Passo 6

Agora, voltamos para a expressão encontrada para τ θ e substituímos θ = 45 ° para encontrar τ m á x :

τ θ = P A sen ⁡ θ c o s   θ

Substituindo θ = 45 ° :

τ 45 ° = τ m á x = P A sen ⁡ 45 ° c o s   45 °

Como sen ⁡ 45 ° = c o s   45 ° = 2 / 2 :

τ m á x = P A 2 2 2 2

O que dá:

τ m á x = P 2 A

Resposta

τ m á x = P 2 A     e ocorre quando     θ = 45 °

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