Exercícios Resolvidos de Tensões em Planos Oblíquos

Ver Teoria

Enunciado

Um tubo de aço com 400   m m de diâmetro externo é fabricado a partir de uma chapa de aço com espessura de 10   m m soldada ao longo de uma hélice que forma um ângulo de 20 ° com um plano perpendicular ao eixo do tubo. Sabendo que as tensões normal e de cisalhamento máximas admissíveis nas direções, respectivamente, normal e tangencial à solda são σ = 60   M P a e τ = 36   M P a , determine a intensidade P da maior força axial que pode ser aplicada ao tubo.

Passo 1

A solda nesse tubo foi feita no formato de uma “rampa em espiral”, formando um ângulo θ = 20 ° em relação ao plano horizontal.

Além disso, essa solda tem um diâmetro externo d e x t = 400   m m , uma espessura e = 10   m m , e, consequentemente, um diâmetro interno d i n t = d e x t - 2 e = 380   m m .

E o que é que o exercício quer?

O exercício quer saber qual é a maior força P que pode ser feita no tubo tal que as tensões na solda não ultrapassem os seus valores admissíveis de:

  • 60   M P a para a tensão normal σ ;
  • E 36   M P a para a tensão cisalhante τ .

Precisamos então estudar como P afeta as tensões normal e cisalhante na região da solda para descobrir, a partir dos valores admissíveis das tensões, o valor máximo permitido de P .

Agora... Para estudar as tensões na região da solda, não podemos estudar a solda inteira, já que a gente não sabe o tamanho total dela.

Então ao invés de estudar a solda inteira, vamos estudar só uma revolução da solda:

Vamos calcular a área A da superfície de uma revolução da solda.

Calcular os esforços internos resultantes normal N e cortante V em uma revolução da solda.

E calcular as tensões normal média σ = N / A e cisalhante média τ = V / A em uma revolução da solda.

Passo 2

Vamos começar então calculando a área A da superfície de uma revolução da solda.

A área A S T da seção transversal do tubo pode ser calculada como a diferença entre as áreas de um círculo de diâmetro d e x t e outro menor de diâmetro d i n t :

Como a área de um círculo em função de seu diâmetro d é dada por π d 2 / 4 , então a área A S T fica assim:

A S T = π d e x t 2 4 - π d i n t 2 4

Deixando π / 4 em evidência, temos:

A S T = π 4 d e x t 2 - d i n t 2

Agora temos que, de alguma forma, relacionar essa área A S T com a área A da superfície de uma revolução da solda.

Para fazer isso, vamos “desenrolar” uma revolução do tubo:

Ao fazer isso, a área A S T passa a ser a área da seção horizontal, enquanto a área A é a área da seção inclinada θ = 20 ° :

Daí tiramos que:

c o s   θ = A S T A

Isolando a área A , temos:

A = A S T c o s   θ

Substituindo a expressão encontrada para A S T :

A = π 4 d e x t 2 - d i n t 2 c o s   θ = π d e x t 2 - d i n t 2 4 cos ⁡ θ

Passo 3

O próximo passo é encontrar as forças internas resultantes normal N e cortante V em uma revolução da solda.

Para fazer isso, vamos mais uma vez usar o tubo “desenrolado”, dessa vez vendo os esforços internos na região da solda:

Para o equilíbrio desse pedaço do tubo, precisamos que a resultante das forças N e V tenha a mesma intensidade da força P , mas sentido oposto:

Dessa imagem, conseguimos tirar que:

N = P * c o s   θ

E que:

V = P * s e n   θ

Passo 4

Agora que encontramos A , N e V para uma revolução da solda, podemos encontrar as tensões nessa região e, em seguida, calcular a força P correspondente à cada tensão admissível.

Primeiro, vamos fazer esse processo com a tensão normal σ .

Aplicando a fórmula da tensão normal média:

σ = N A

Substituindo as expressões encontradas nos dois passos anteriores:

σ = P * c o s   θ π d e x t 2 - d i n t 2 4 cos ⁡ θ

Passando o 4 cos ⁡ θ para cima:

σ = 4 P c o s 2 θ π d e x t 2 - d i n t 2

Como queremos encontrar o valor de P correspondente a um certo valor de σ , vamos isolar P :

P = σ π d e x t 2 - d i n t 2 4 c o s 2 θ

Agora podemos substituir os valores:

  • σ = 60   M P a ;
  • d e x t = 400   m m ;
  • d i n t = 380   m m ;
  • E θ = 20 ° .
  • Fazendo isso, temos:

    P = 60   M P a π 400   m m 2 - 380   m m 2 4   c o s 2 20 °

    Como M P a = N / m m 2 , o resultado dessa conta vai sair em newtons ( N ).

    Calculando tudo, isso dá:

    P = 832519   N

    Como esse número está um pouco grande, reescrevemos ele em k N :

    P = 833   k N

    Isso significa que uma carga P de 833   k N gera na solda a tensão normal admissível de 60   M P a . Qualquer carga maior do que 833   k N não é permitida nesse tubo.

    Passo 5

    Agora podemos fazer o mesmo procedimento do passo anterior mas para a tensão cisalhante τ .

    Aplicando a fórmula da tensão cisalhante média:

    τ = V A

    Substituindo as expressões encontradas para a força cortante V e para a área A da seção:

    τ = P * s e n   θ π d e x t 2 - d i n t 2 4 cos ⁡ θ

    Passando o 4 cos ⁡ θ para cima:

    τ = 4 P sen ⁡ θ cos ⁡ θ π d e x t 2 - d i n t 2

    Como queremos encontrar o valor de P correspondente a um certo valor de τ , vamos isolar P :

    P = τ π d e x t 2 - d i n t 2 4 sen ⁡ θ cos ⁡ θ

    Agora podemos substituir os valores:

  • τ = 36   M P a ;
  • d e x t = 400   m m ;
  • d i n t = 380   m m ;
  • E θ = 20 ° .

Fazendo isso, temos:

P = 36   M P a π 400   m m 2 - 380   m m 2 4 sen ⁡ 20 ° cos ⁡ 20 °

Calculando tudo e sabendo que M P a = N / m m 2 , isso dá:

P = 1372396   N

Reescrevendo em k N :

P = 1372   k N

Ou seja, a tensão cisalhante admissível τ = 36   M P a requer que a força P não ultrapasse o valor de 1372   k N .

Em comparação, não são permitidas forças P maiores que 833   k N de acordo com a tensão normal admissível σ = 60   M P a .

Sendo assim, a maior força P que pode ser feita no tubo é:

Resposta

P = 833   k N

Exercícios de Livros Relacionados

A lança tem peso uniforme de 3k N e é alçada até a posição desejada por meio do cabo B C . Se o cabo tiver diâmetro de 15m m , construa um gráfico da tensão normal média no cabo em função da posição d
O raio do pedestal é definido por r=( 0,5 ⋅ e - 0.008 y 2 )m , onde y é dado em metros. Se o material tiver densidade de 2,5M g / m 3 , determine a tensão normal média no apoio.
A barra tem área de seção transversal A e está submetida à carga axial P . Detetmine a tensão normal média e a tensão de cisalhamento média que agem na seção sombreada que está orientada a um ângulo θ
O elemento A da junta escalonada de madeira usada na treliça está submetido a uma força de compressão de 5k N . Determine a tensão normal média que age na haste do pendural C com diâmetro de 10m m e n
O pedestal suporta uma carga P em seu centro. Se a densidade de massa do material for ρ , determine a dimensão radial r em função de z de modo que a tensão normal média no pedestal permaneça constante