Exercícios Resolvidos de Tensões em Planos Oblíquos

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Enunciado

Duas peças de madeira de seção 5   c m   ×   5   c m são coladas na seção inclinada A B como mostra a figura.

Calcular o valor máximo admissível da carga P , axial de compressão, dadas as tensões admissíveis na cola de 9,0   M P a à compressão e 1,8   M P a ao cisalhamento.

Dica do Expert: s e n   15 ° = 0,259 e c o s   15 ° = 0,966 .

Passo 1

Nós precisamos descobrir qual é a máxima carga P de compressão nas peças tal que as tensões na cola não ultrapassem os seus valores admissíveis:

  • 9,0   M P a para a tensão normal σ ;
  • E 1,8   M P a para a tensão cisalhante τ .

E como podemos fazer isso?

Vamos pensar...

Cada carga P vai gerar uma certa força normal N e uma certa força cortante V na seção inclinada da cola:

Além disso, a seção inclinada da cola possui uma área A que é diferente da área A S T de 5   c m   ×   5   c m da seção transversal das peças de madeira:

Se encontrarmos as forças N e V , em função da carga P , e a área A da seção da cola, podemos usar as fórmulas das tensões normal média σ e cisalhante média τ :

σ = N A     &     τ = V A

Para encontrar as tensões na seção da cola em função da carga P .

A partir daí, podemos descobrir qual é a carga P que gera uma tensão normal σ = 9,0   M P a e qual é a carga P que gera uma tensão cisalhante τ = 1,8   M P a .

O menor entre esses dois valores de P vai ser a nossa resposta, já que qualquer valor maior geraria pelo menos uma tensão acima da admissível.

Passo 2

Então primeiro, vamos observar os esforços internos na seção da cola para encontrar as forças normal N e cortante V em função da carga P :

Para o equilíbrio dessa peça, a resultante das forças internas N e V tem que ter a mesma intensidade da força externa P e sentido oposto:

Como 15 ° é o ângulo entre a horizontal (onde a carga P atua) e a seção inclinada (onde a cortante V atua), podemos desenhar esse ângulo no diagrama de forças e usar seno e cosseno para obtermos que:

N = P * s e n   15 °         &         V = P * c o s   15 °

Passo 3

Em seguida, vamos encontrar a área A da seção da cola.

Se observamos a geometria das peças, conseguimos relacionar a área A dessa seção inclinada com a área A S T = 5   c m   ×   5   c m da seção transversal das peças:

Como seno é o cateto oposto sobre a hipotenusa:

s e n   15 ° = A S T A

Isolando a área A , temos que:

A = A S T s e n   15 °

Passo 4

Agora que N , V e A foram encontrados para a seção da cola, podemos usar as fórmulas das tensões normal média e cisalhante média para essa seção:

σ = N A     &     τ = V A

Substituindo os valores encontrados nos últimos dois passos:

σ = P * s e n   15 ° A S T s e n   15 °         &         τ = P * c o s   15 ° A S T s e n   15 °

Passando o s e n   15 ° que está dividindo a área A S T para cima, essas tensões ficam assim:

σ = P A S T s e n 2 15 °

&

τ = P A S T s e n   15 ° c o s   15 °

Passo 5

Para descobrir qual é o valor de P que gera uma tensão normal de σ = 9,0   M P a na seção da cola, partimos da expressão que encontramos no passo anterior:

σ = P A S T s e n 2 15 °

Isolamos P :

P = σ A S T s e n 2 15 °

E substituímos os valores de σ , s e n   15 ° , e A S T = 5   c m   ×   5   c m = 25   c m 2 = 2500   m m 2 :

P = 9,0   M P a 2500   m m 2 0,259 2

Lembra aí! M P a = N / m m 2 , então o resultado desses cálculos vai sair em newtons!

Calculando tudo, obtemos que:

P = 333415   N

Esse número é um pouco grande, então podemos reescrevê-lo em k N :

P = 333   k N

Ou seja, a tensão normal admissível permite cargas P de até 333   k N .

Passo 6

Para descobrir o valor de P que gera uma tensão cisalhante τ = 1,8   M P a na seção da cola, partimos da outra expressão que encontramos no passo 4:

τ = P A S T s e n   15 ° c o s   15 °

Isolamos P :

P = τ A S T s e n   15 ° c o s   15 °

E substituímos os valores de τ , A S T , s e n   15 ° e c o s   15 ° :

P = 1,8   M P a 2500   m m 2 0,259 0,966

Calculando isso e sabendo que M P a = N / m m 2 , obtemos:

P = 17986   N

Reescrevendo em k N :

P = 18,0   k N

Ou seja, a tensão cisalhante admissível requer que a carga P não ultrapasse o valor de 18,0   k N . Em comparação a tensão normal admissível permite cargas de até 333   k N !

Então a tensão cisalhante admissível é o fator limitante e o valor máximo admissível da carga P é:

Resposta

P = 18,0   k N

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