Exercícios Resolvidos de Tensões em Planos Oblíquos

Russell Charles Hibbeler, Resistência dos Materiais, 7ª ed. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2010, pp. 31,32-1.76.

A estrutura de dois elementos está sujeita à carga distribuída mostrada. Determine a maior intensidade w da carga uniforme que pode ser aplicada à estrutura sem que a tensão normal média ou a tensão de cisalhamento média na seção b - b ultrapasse σ = 15   M P a e τ = 16   M P a , respectivamente. O elemento C B tem seção transversal quadrada de 30   m m de lado.

Passo 1

A haste C B faz uma força F C B na viga A B que contribui para o equilíbrio da viga, como mostra o diagrama de corpo livre da viga:

Como reação, a viga traciona a haste com uma força F C B de mesma intensidade:

Isso significa que podemos usar as equações de equilíbrio na viga A B para descobrir o valor da tração F C B na haste.

Sabendo o valor da tração na haste, podemos calcular os esforços internos normal N e cortante V na seção b - b da haste:

Além disso, sabendo que a haste possui uma seção transversal de área A S T = 30   m m 2 , podemos calcular também a área A da seção b - b a partir da inclinação θ da haste:

Sabendo os valores de N , V e A para a seção b - b , podemos calcular também as tensões normal média σ e cisalhante média τ nessa seção através de suas fórmulas:

σ = N A     &     τ = V A

Essas tensões σ e τ vão estar, no final das contas, em função da intensidade desconhecida w da carga distribuída.

Comparando essas tensões com as tensões máximas permitidas σ = 15   M P a e τ = 16   M P a , vamos poder descobrir os valores correspondentes de w .

O menor entre os dois valores encontrados vai ser o valor máximo permitido para w , que é o que o exercício quer!

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Vamos começar então encontrando a força de tração F C B na haste.

Para tanto, podemos fazer um diagrama de corpo livre (“DCL”) da viga A B para poder relacionar a força F C B com a intensidade w da carga distribuída:

Para deixar nossa vida mais fácil, substituímos a carga uniforme de intensidade w , que age em uma região de 3   m , por uma força equivalente w * ( 3   m ) que age no centro dessa região:

Agora, podemos aplicar uma condição de equilíbrio para tentar relacionar F C B e w .

A condição de equilíbrio que vai nos permitir relacionar esses valores mais facilmente vai ser o equilíbrio de momentos em relação ao ponto A :

∑ M A = 0

Agora vamos pensar...

A força w * ( 3   m ) vai gerar em relação ao ponto A um momento no sentido horário ( - ) com um braço de 1,5   m .

Quanto a força F C B , não está muito claro qual é o braço dessa força.

Para ficar mais fácil de calcular o momento gerado por F C B , podemos decompor essa força usando a inclinação θ da haste:

Dessa forma, podemos calcular os momentos gerados pelas componentes de F C B :

  • A componente vertical F C B y não vai gerar nenhum momento em relação ao ponto A (ela vai ter um braço 0 ).
  • E a componente F C B x vai gerar um momento no sentido anti-horário ( + ) com um braço de 3   m .

Além disso, da decomposição de F C B , temos que:

F C B y = F C B x * t g   θ

Voltando para o nosso equilíbrio de momentos:

∑ M A = 0

Tendo em mente o que acabamos de ver, esse equilíbrio de momentos fica assim:

F C B x 3   m - w * 3   m 1,5   m = 0

Dividindo tudo por ( 3   m ) :

F C B x - w 1,5   m = 0

Passando w 1,5   m para o outro lado, temos que:

F C B x = w 1,5   m

E usando a relação de que F C B y = F C B x * t g   θ , encontramos a outra componente de F C B :

F C B y = w 1,5   m * t g   θ

Como temos as duas componentes, já podemos dizer que encontramos a força F C B .

Passo 3

Agora que temos a força de tração na haste, podemos avaliar os esforços internos na seção b - b :

A vantagem de ter deixado a força F C B já decomposta no passo anterior é que agora fica fácil encontrar as forças internas normal N e cortante V .

Aplicando o equilíbrio de forças na vertical e na horizontal:

∑ F V = 0           &           ∑ F H = 0

Encontramos que:

N = w 1 , 5   m * t g   θ

&

V = w ( 1,5   m )

Passo 4

Em seguida, precisamos encontrar a área A da seção b - b .

Usando a inclinação θ da haste para relacionar essa área com a área A S T = 30   m m 2 da seção transversal da haste:

Encontramos que:

A S T = A * s e n   θ

Isolando a área A , temos que:

A = A S T s e n   θ

Passo 5

Agora que encontramos as forças internas N e V e a área A da seção b - b , podemos calcular as tensões nessa seção.

Aplicando a fórmula da tensão normal média, temos:

σ = N A

Substituindo os valores encontrados para N e A :

σ = w 1,5   m * t g θ A S T s e n   θ

Passando o s e n   θ para cima:

σ = w 1,5   m * t g   θ   s e n   θ A S T

E agora para a tensão cisalhante média:

τ = V A

Substituindo os valores encontrados:

τ = w 1,5   m A S T s e n   θ

Passando o s e n   θ para cima:

τ = w 1,5   m * s e n   θ A S T

Passo 6

Mas, na verdade, queremos descobrir os valores de w correspondentes a certas tensões σ = 15   M P a e τ = 16   M P a .

Então vamos isolar w nas expressões que encontramos no último passo.

Começando pela tensão normal média:

σ = w 1,5   m * t g   θ   s e n   θ A S T

Isolando w , temos:

w = σ A S T 1,5   m * t g   θ   s e n   θ

Conhecemos a tensão normal máxima permitida na seção b - b , σ = 15   M P a , e a área da seção transversal da haste A S T = 30   m m 2 .

Mas ainda precisamos descobrir os valores de t g   θ e de s e n   θ .

Para tanto, vamos olhar para a inclinação da haste:

Dessa imagem, conseguimos tirar que:

t g   θ = ( 3   m ) ( 4   m ) = 3 4

Além disso, sabemos que s e n   θ é igual ao cateto oposto de 3   m dividido pela hipotenusa, que pode ser encontrada pelo teorema de Pitágoras:

s e n   θ = ( 3   m ) 3   m 2 + 4   m 2 = 3   m 5   m = 3 5

Substituindo todos esses valores na expressão anterior para w :

w = 15   M P a 30   m m 2 1,5   m * 3 4 3 5

Empurrando todas as unidade para o lado:

w = 15 * 30 2 1,5 * 3 4 3 5   M P a * m m 2 m

Como M P a = N / m m 2 , então M P a * m m 2 = N , o que significa que o resultado desses cálculos vai sair em N / m .

Calculando tudo, isso dá:

w = 20000   N / m

Como esse número é um pouco grande, reescrevemos ele em k N / m :

w = 20   k N / m

Isso significa que a tensão normal máxima permitida σ = 15   M P a na seção b - b da haste implica que só podem ser aplicadas na viga cargas distribuídas de até 20   k N / m .

Agora para a tensão cisalhante média:

τ = w 1,5   m * s e n   θ A S T

Isolando w , temos:

w = τ A S T 1,5   m * s e n   θ

Substituindo a tensão cisalhante máxima permitida τ = 16   M P a , a área A S T = 30   m m 2 e o valor encontrado para s e n   θ , temos:

w = 16   M P a 30   m m 2 1,5   m * 3 5

Mais uma vez, o resultado de tudo isso vai sair em N / m . Calculando tudo, isso dá:

w = 16000   N / m

Reescrevendo em k N :

w = 16   k N / m

Ou seja, a tensão cisalhante máxima permitida τ = 16   M P a na seção b - b da haste implica que só podem ser aplicadas na viga cargas distribuídas de até 16   k N / m .

Sendo assim, a tensão cisalhante é o fator limitante e a maior intensidade w da carga uniforme que pode ser aplicada à estrutura é:

Resposta

w = 16   k N / m

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