Exercícios Resolvidos de Tensões em Planos Oblíquos

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Enunciado

Uma carga P de 1070   k N é aplicada ao bloco de granito mostrado na figura. Determine o valor máximo resultante da ( a ) tensão normal e ( b ) tensão de cisalhamento. Especifique a orientação do plano no qual ocorre cada um desses valores máximos.

Passo 1

Para descobrir os valores máximos resultantes ( a ) da tensão normal média σ e ( b ) da tensão cisalhante média τ nesse bloco de granito, vamos ter que:

1. Calcular essas tensões para uma seção qualquer do bloco.

Podemos fazer isso:

  • Definindo uma seção com uma orientação qualquer θ ;
  • Usando as fórmulas σ = N / A e τ = V / A para calcular as tensões nessa seção qualquer;
  • E tomando cuidado para calcular as forças internas normal N e cortante V e a área A da seção de acordo com a orientação θ dessa seção qualquer.

Além disso, para calcular as forças internas N e V , vamos usar a informação de que a carga P aplicada no bloco é de 1070   k N .

E para calcular a área A da seção qualquer, vamos precisar da área A S T = 152,4   m m 2 da seção transversal do bloco.

2. Estudar os valores máximos das expressões que encontrarmos no passo anterior.

Passo 2

Vamos começar encontrando as forças internas N e V para uma seção qualquer de orientação θ :

Para o equilíbrio interno do bloco de granito, a resultante dessas duas forças deve ter sempre uma intensidade igual à carga P e um sentido contrário:

Dessa imagem, tiramos que:

N = P * sen ⁡ θ       &       V = P * cos ⁡ θ

Passo 3

Em seguida, podemos encontrar a área A de uma seção qualquer em função da área A S T da seção transversal:

Dessa imagem, tiramos que sen ⁡ θ = A S T / A , o que significa que:

A = A S T sen ⁡ θ

Passo 4

N , V e A calculados para uma seção qualquer, agora podemos calculas as tensões em uma seção qualquer.

Começando pela tensão normal média σ :

σ = N A

Substituindo os valores encontrados para N e A :

σ = P * sen ⁡ θ A S T sen ⁡ θ

Passando o sen ⁡ θ que está dividindo A S T para cima:

σ = P   s e n 2 θ A S T

E agora para a tensão cisalhante média τ :

τ = V A

Substituindo os valores encontrados para V e A :

τ = P * cos ⁡ θ A S T sen ⁡ θ

Mais uma vez, passando o sen ⁡ θ que está dividindo A S T para cima:

τ = P sen ⁡ θ cos ⁡ θ A S T

Passo 5

Tanto σ quanto τ tem “ P / A S T ” em comum, então já podemos deixar esse termo calculado.

Sabendo que P = 1070   k N e A S T = 152,4   m m 2 :

P A S T = 1070   k N 152,4   m m 2

Para ter resultados em N / m m 2 = M P a , podemos reescrever a força de 1070   k N em newtons ( N ):

P A S T = ( 1070000   N ) 152,4   m m 2

Calculando, isso dá:

P A S T = 46 , 07   M P a

Sendo assim, podemos escrever as tensões σ e τ assim:

σ = 46 , 07   M P a   s e n 2 θ

&

τ = 46 , 07   M P a sen ⁡ θ cos ⁡ θ

Passo 6

Enfim, podemos estudar os valores máximos das expressões que encontramos para as tensões σ e τ no passo anterior.

Começando pela tensão normal média σ :

σ = 46 , 07   M P a   s e n 2 θ

Ela vai ser máxima quando s e n 2 θ for máximo.

O valor máximo que s e n 2 θ pode ter é 1 , e isso acontece quando θ = 90 ° , então temos que a tensão normal média máxima nesse bloco é:

σ m á x = 46 , 07   M P a 1 ≅ 46,1   M P a

E agora para a tensão cisalhante média τ :

τ = 46 , 07   M P a sen ⁡ θ cos ⁡ θ

Ela vai ser máxima quando ( sen ⁡ θ cos ⁡ θ ) for máximo.

Para saber quando ( sen ⁡ θ cos ⁡ θ ) é máximo, temos que usar um pouco de cálculo.

Em cálculo, vimos que os valores máximos e mínimos de uma função ocorrem quando sua derivada é igual a zero.

Aplicando isso para ( sen ⁡ θ cos ⁡ θ ) , temos:

d sen ⁡ θ cos ⁡ θ d θ = 0

Usando a regra do produto para derivadas e sabendo que derivada de seno é cosseno e derivada de cosseno é menos seno, essa derivada fica assim:

c o s 2 θ - s e n 2 θ = 0

O que significa que:

c o s 2 θ = s e n 2 θ

O primeiro ângulo com seno e cosseno iguais que conhecemos é o ângulo de 45 ° .

Isso significa que θ = 45 ° é a orientação de uma seção em que a tensão cisalhante é máxima!

Sendo assim:

τ m á x = 46 , 07   M P a sen ⁡ 45 ° cos ⁡ 45 °

Como sen ⁡ 45 ° = cos ⁡ 45 ° = 2 / 2 , temos que sen ⁡ 45 ° * cos ⁡ 45 ° = 1 / 2 , o que significa que:

τ m á x = 46 , 07   M P a 2

O que dá:

τ m á x ≅ 23,0   M P a

E assim chegamos às respostas do exercício:

Resposta

( a ) σ m á x = 46,1   M P a . Ocorre no plano normal do bloco. ( θ = 90 ° em relação à vertical)

( b ) τ m á x = 23,0   M P a . Ocorre em um plano com uma angulação θ = 45 ° em relação à vertical.

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