Exercícios Resolvidos de Tensões em Planos Oblíquos

Prof. João Chafi Hallack et al., Apostila de Resistência dos Materiais 1, Universidade Federal de Juiz de Fora, Março de 2015, pp. 21-2.

Duas peças de madeira de seção retangular 80   m m   ×   140   m m são coladas uma à outra em um entalhe inclinado, conforme mostra a figura. Calcular as tensões na cola para P = 16   k N e para:

a ) θ = 30 ° ;

b ) θ = 45 ° ;

c ) θ = 60 ° .

Passo 1

As peças estão sendo tracionadas por uma força P = 16   k N e possuem uma seção transversal com área A S T de dimensões 80   m m   ×   140   m m .

O exercício quer que a gente avalie a tensão normal média σ = N / A e a tensão cisalhante média τ = V / A em uma seção angulada θ em relação à horizontal.

Para calcular essas tensões, vamos ter que:

  • Fazer uma análise de esforços internos nessa seção inclinada para encontrar a força normal N e a força cortante V ;
  • Observar a geometria da peça para encontrar a área A da seção inclinada em função da área A S T da seção transversal.

Feito isso, vamos ter que calcular os resultados para os diferentes valores de θ : 30 ° , 45 ° e 60 ° .

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Vamos começar pela análise de esforços internos na seção inclinada.

Para o equilíbrio das peças, a resultante das forças internas N e V no plano da cola deve ser igual à força P :

Observando essa imagem, tiramos que:

N = P * s e n   θ     &     V = P * c o s   θ

Passo 3

Agora, vamos encontrar a área A da seção inclinada em função da área A S T da seção transversal.

Observando a geometria da peça, vemos que A = A S T / s e n   θ :

Passo 4

Agora que A , N e V foram encontrados, podemos aplicar as fórmulas das tensões normal média e cisalhante média:

σ = N A

&

τ = V A

Substituindo os valores encontrados nos passos anteriores, temos:

σ = P * s e n   θ A S T s e n   θ

&

τ = P * c o s   θ A S T s e n   θ

Reorganizando essas expressões:

σ = P A S T s e n 2 θ

&

τ = P A S T s e n θ c o s θ

Se quiséssemos só o resultado literal, pararíamos aqui.

Para calcular os valores numéricos, vamos substituir P = 16   k N = 16000   N e A S T =   80   m m   ×   140   m m = 11200   m m 2 :

σ = 16000   N 11200   m m 2 s e n 2 θ

&

τ = 16000   N 11200   m m 2 s e n θ c o s θ

Fazendo a divisão ( 16000   N ) / ( 11200   m m 2 ) e sabendo que N / m m 2 = M P a , temos:

σ = 1,42857   M P a s e n 2 θ

&

τ = 1,42857   M P a s e n θ c o s θ

Como 1,42857 é um número pequeno, preferimos apresentar os resultados em k P a .

Fazendo isso, obtemos que:

σ = 1428,57   k P a s e n 2 θ

&

τ = 1428,57   k P a s e n θ c o s θ

Agora, nos próximos três passos, vamos calcular os resultados para os três diferentes valores de θ .

Passo 5

Para o item a ) θ = 30 ° , temos:

σ = 1428,57   k P a s e n 2 ( 30 ° )

&

τ = 1428,57   k P a s e n ( 30 ° ) c o s ( 30 ° )

Sabendo que s e n 30 ° = 1 / 2 e c o s 30 ° = 3 / 2 , podemos calcular essas equações, obtendo os resultados:

σ = 357,1   k P a

&

τ = 618,6   k P a

Passo 6

Para o item b ) θ = 45 ° , temos:

σ = 1428,57   k P a s e n 2 ( 45 ° )

&

τ = 1428,57   k P a s e n ( 45 ° ) c o s ( 45 ° )

Aqui, uma coisa curiosa acontece.

Como s e n 45 ° = c o s 45 ° = 2 / 2 , as duas tensões vão obter o mesmo resultado:

σ = τ = 714,3   k P a

Se formos prestar atenção, esse resultado equivale a 1428,57   k P a dividido por 2 .

Passo 7

Finalmente, para o item c ) θ = 60 ° , temos:

σ = 1428,57   k P a s e n 2 ( 60 ° )

&

τ = 1428,57   k P a s e n ( 60 ° ) c o s ( 60 ° )

Sabendo que s e n 60 ° = 3 / 2 e c o s 60 ° = 1 / 2 , podemos calcular essas equações, obtendo os resultados:

σ = 1071,4   k P a

&

τ = 618,6   k P a

E assim temos todos os resultados para responder a questão:

Resposta

a ) σ = 357,1   k P a , τ = 618,6   k P a ;

b ) σ = τ = 714,3   k P a ;

c ) σ = 1071,4   k P a , τ = 618,6   k P a .

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