Exercícios Resolvidos de Tensões Térmicas

Russell Charles Hibbeler, Resistência dos Materiais, 7ª ed. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2010, pp. 109-4.70.

A chave elétrica fecha quando as hastes de ligação C D e A B se aquecem, o que provoca a translação e a rotação do braço rígido B D E até fechar o contato em F . A posição original de B D E é vertical e a temperatura é 20 ° C . Se A B for feita de bronze C86100 e C D , de alumínio 6061-T6, determine o espaço s exigido entre os contatos para a chave fechar quando a temperatura alcançar 110 ° C .

Dados: α a l u m = 2 4 * 10 - 6 / ° C , α b r o n z e = 17 * 10 - 6 / ° C .

Passo 1

O que está acontecendo?

As hastes A B e C D , ambas de comprimento inicial L = 300   m m , possuem uma temperatura inicial T = 20 ° C .

Ao serem submetidas a uma variação de temperatura Δ T , as barras sofrem uma variação de comprimento térmica que é dada pela fórmula:

δ T = α * Δ T * L

Mas as hastes A B e C D possuem coeficientes de dilatação térmica α diferentes:

  • A haste A B é feita de um bronze para o qual α b r o n z e = 17 * 10 - 6 / ° C ;
  • E a haste C D é feita de um alumínio para o qual α a l u m = 2 4 * 10 - 6 / ° C ,

Por causa disso, cada haste vai sofrer uma dilatação térmica δ T diferente, o que vai fazer com que o braço rígido B D E ande para a frente e se incline:

E o que é que o exercício quer?

Ele quer saber qual é a distância s entre os pontos E e F para que eles se encostem quando as hastes A B e C D forem aquecidas até uma temperatura final T ' = 110 ° C .

Para tanto, teremos que encontrar as dilatações térmicas δ T , A B e δ T , C D em cada haste.

Feito isso, desenharemos a configuração final da barra rígida B D E após a variação de temperatura Δ T nas hastes.

Com isso, vamos conseguir avaliar qual deve ser o valor da distância s para que a posição final do ponto E , o ponto E ' , coincida com o ponto F .

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Então vamos começar o exercício calculando as dilatações térmicas δ T em cada haste.

Calculando a dilatação térmica da haste A B , que é de bronze, temos:

δ T , A B = α b r o n z e * Δ T * L

Substituindo:

  • α b r o n z e = 17 * 10 - 6 / ° C ;
  • Δ T = T ' - T = 110 ° C - 20 ° C = 90 ° C ;
  • E L = 300   m m ,

Vamos encontrar que:

δ T , A B = 0,459   m m

Já a dilatação térmica da haste C D , que é de alumínio, vai ser:

δ T , C D = α a l u m * Δ T * L

Substituindo nessa expressão:

  • α a l u m = 2 4 * 10 - 6 / ° C ;
  • Δ T = 90 ° C ;
  • E L = 300   m m ,

Encontramos que:

δ T , C D = 0,6 48   m m

Passo 3

O próximo passo é avaliar como vai ficar a barra rígida B D E depois que as hastes tiverem dilatado.

Então vamos pensar...

Sabemos que a barra vai se movimentar como imaginamos na figura do passo 1, já que a dilatação da barra C D é maior.

E o que é que queremos...

Queremos que a posição final do ponto E coincida com o ponto F para que a chave elétrica feche.

Então vamos ter que o deslocamento do ponto E da barra tem que ser igual à distância inicial s entre os pontos E e F :

Passo 4

Finalmente, podemos tentar encontrar o valor da distância s .

Para tanto, precisamos observar os triângulos formados pela barra B D E em sua posição final:

Fazendo uma semelhança de triângulos entre o triângulo menor e o triângulo maior, vamos ter que:

( δ T , C D - δ T , A B ) ( 400   m m ) = ( s - δ T , A B ) ( 600   m m )

Simplificando os termos que estão dividindo, isso fica assim:

( δ T , C D - δ T , A B ) 2 = ( s - δ T , A B ) 3

Isolando ( s - δ T , A B ) , temos:

s - δ T , A B = 3 2 ( δ T , C D - δ T , A B )

Em seguida, isolando a distância s , encontramos:

s = 3 2 δ T , C D - δ T , A B + δ T , A B

Finalmente, fazendo a distributiva e simplificando tudo, encontramos que:

s = 3 2 δ T , C D - 3 2 δ T , A B + δ T , A B

s = 3 2 δ T , C D - 1 2 δ T , A B

Com isso, só falta substituir os valores das dilatações térmicas δ T para encontrarmos o valor da distância s !

Substituindo δ T , C D = 0,6 48   m m e δ T , A B = 0,459   m m , vamos ter que:

s = 3 2 0,6 48   m m - 1 2 0,459   m m

O que dá a nossa resposta:

Resposta

s = 0,7 425   m m

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