Exercícios Resolvidos de Tensões Térmicas

Russell Charles Hibbeler, Resistência dos Materiais, 7ª ed. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2010, pp. 110-4.79.

Duas barras feitas de materiais diferentes são acopladas e instaladas entre duas paredes quando a temperatura é T 1   =   10 ° C . Determine a força exercida nos apoios (rígidos) quando a temperatura for T 2   =   20 ° C . As propriedades dos materiais e as áreas de seção transversal de cada barra são dadas na figura.

Passo 1

O que está acontecendo?

Quando as barras de aço e de latão foram instaladas a uma temperatura inicial T 1 = 10 ° C , elas não estavam nem sob compressão nem sob tração.

Além disso, elas têm:

  • Comprimentos iniciais L = 300   m m ;
  • Módulos de Elasticidade E a ç o = 200   G P a e E l a t = 100   G P a ;
  • Coeficientes de Dilatação Térmica α a ç o = 12 10 - 6 / ° C e α l a t = 21 10 - 6 / ° C ;
  • E áreas de seção transversal A a ç o = 200   m m 2 e A l a t = 450   m m 2 .

Quando a temperatura é elevada para T 2 = 20 ° C , as barras sofrem uma variação de temperatura Δ T = T 2 - T 1 = 20 - 10 = 10 ° C .

Por causa dessa variação de temperatura, cada barra sofre uma dilatação térmica δ T :

δ T a ç o = α a ç o * Δ T * L       (Barra de Aço)

&

δ T l a t = α l a t * Δ T * L       (Barra de Latão)

Mas as barras estão restringidas entre duas paredes fixas, que não podem ser afastadas ou aproximadas.

Então a variação de comprimento total δ T O T A L das duas barras deve ser nula:

δ T O T A L = 0

Para garantir que isso ocorra, o que as paredes fazem é aplicar forças de reação R nas barras, comprimindo-as de forma a anular as dilatações térmicas δ T :

Essas forças R de compressão geram uma força interna normal N = - R e uma variação de comprimento δ = N L / E A em cada barra.

E o que é que o exercício quer?

Ele quer que a gente descubra o valor da força que as barras aplicam nas paredes.

Pelo princípio da ação e reação, essa força vai ser igual à força R que as paredes aplicam nas barras.

(Ou seja, o exercício quer descobrir o valor de R !)

Para encontrar R , vamos ter que desenvolver a equação de compatibilidade...

δ T O T A L = 0

...até que ela seja descrita em função de R .

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Para desenvolver a equação de compatibilidade δ T O T A L = 0 , podemos começar aplicando o princípio da superposição.

Com ele, podemos descrever essa variação de comprimento total das duas barras δ T O T A L como a soma:

  • Das variações individuais δ T a ç o e δ T l a t causadas pela variação de temperatura em cada barra;
  • Com as variações individuais δ a ç o e δ l a t causadas pelas forças atuantes nas barras.

Dessa forma, temos que:

δ T O T A L = δ T a ç o + δ T l a t + δ a ç o + δ l a t = 0

Vamos guardar essa equação.

Passo 3

Agora, podemos usar a fórmula da dilatação térmica δ T para definirmos δ T a ç o e δ T l a t :

δ T a ç o = α a ç o * Δ T * L

&

δ T l a t = α l a t * Δ T * L

E podemos usar a fórmula da variação de comprimento δ = N L / E A devido ao carregamento em uma peça para definirmos δ a ç o e δ l a t :

δ a ç o = N L E a ç o A a ç o

&

δ l a t = N L E l a t A l a t

E ainda vimos no Passo 1 que a força interna normal N nas barras é igual à - R , de tal forma que:

δ a ç o = - R L E a ç o A a ç o

&

δ l a t = - R L E l a t A l a t

Daí que substituindo essas fórmulas naquela expressão que tínhamos guardado ao final do passo anterior, ela fica assim:

α a ç o * Δ T * L + α l a t * Δ T * L + - R L E a ç o A a ç o + - R L E l a t A l a t = 0

Dividindo tudo por L , conseguimos simplificar essa expressão:

α a ç o Δ T + α l a t Δ T - R E a ç o A a ç o - R E l a t A l a t = 0

Assim, conseguimos fazer o que queríamos que era desenvolver a equação de compatibilidade δ T O T A L = 0 até que ela fosse descrita em função da força R desconhecida.

Com isso, só nos falta isolar R para encontrarmos o seu valor.

Passo 4

Para isolar R na expressão anterior, começamos colocando Δ T e R em evidência:

Δ T α a ç o + α l a t - R 1 E a ç o A a ç o + 1 E l a t A l a t = 0

Passamos o termo com R para o outro lado:

Δ T α a ç o + α l a t = R 1 E a ç o A a ç o + 1 E l a t A l a t

E finalmente isolamos R encontrando que:

R = Δ T α a ç o + α l a t 1 E a ç o A a ç o + 1 E l a t A l a t

Se substituirmos:

  • Δ T = 10 ° C ;
  • α a ç o = 12 10 - 6 / ° C e α l a t = 21 10 - 6 / ° C ;
  • E a ç o = 200   G P a = 200   k N / m m 2 e E l a t = 100   G P a = 100   k N / m m 2 ;
  • & A a ç o = 200   m m 2 e A l a t = 450   m m 2 ,

Todos os valores vão estão em função das unidades ° C , k N e m m 2 . Então o nosso resultado para a força R vai sair em k N .

Fazendo essas substituições e calculando tudo, encontramos nossa resposta:

Resposta

R = 6,99   k N

Esse conteúdo é exclusivo para cadastrados.

Cadastre-se grátis no maior portal de exatas do Brasil!

Relaxa, não vamos publicar nada no seu nome.

  • Resumões direto ao ponto
    Resumões
    direto ao ponto
  • Exercícios resolvidos passo a passo
    Exercícios resolvidos
    passo a passo
  • Videoaulas incríveis
    Videoaulas
    incríveis
  • Aulões Salva-Vidas
    Aulões
    Salva-Vidas