Exercícios Resolvidos de Tensões Térmicas

Elaboração Própria

Na coluna de concreto reforçada com vigas de aço abaixo, tanto o concreto quanto o aço estão fixados entre o solo e uma placa rígida.

A coluna possui um comprimento inicial L . Além disso, o concreto e o aço possuem módulos de elasticidade E c o n c e E a ç o e áreas de seção transversal A c o n c e A a ç o .

Considerando que não existe nenhuma carga externa na coluna e que os materiais possuem coeficientes de dilatação térmica distintos α c o n c < α a ç o , determine a força que a placa rígida fixa faz no concreto quando a coluna for submetida a uma variação de temperatura Δ T , fazendo o concreto e o aço sofrerem dilatações térmicas distintas δ T c o n c e δ T a ç o .

Dica do Expert: A placa rígida que fixa as extremidades do concreto e do aço vai forçar com que as variações de comprimento total δ T O T A L dos dois materiais sejam iguais.

Passo 1

O que está acontecendo?

Se não fosse pela placa rígida, se o concreto e o aço estivessem livres um do outro, cada um sofreria as suas dilatações térmicas δ T = α * Δ T * L livremente:

Mas, por causa da placa rígida, os materiais são forçados a ter a mesma variação de comprimento total:

Para que isso seja possível, o que acontece é que a placa rígida fixa exerce forças no concreto e no aço, F c o n c e F a ç o .

Esse carregamento gera forças internas normais N c o n c e N a ç o nos materiais, que, por sua vez, geram neles variações de comprimento δ c o n c e δ a ç o dadas pela fórmula:

δ = N L E A

Daí que essas variações de comprimento δ c o n c e δ a ç o devido ao carregamento nas peças se encarregam de compensar a diferença entre as dilatações térmicas δ T c o n c e δ T a ç o .

E o que é que o exercício quer?

Ele quer saber o valor da força F c o n c que a placa rígida faz no concreto.

Para encontrar essa força, provavelmente vamos precisar tanto de uma equação de equilíbrio quanto de uma equação de compatibilidade.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

A primeira coisa que podemos fazer para encontrar uma força é fazer o diagrama de corpo livre das pelas e aplicar as condições de equilíbrio nessas peças.

Fazendo esse diagrama de corpo livre para as nossas peças, ele fica assim:

Como não sabemos ainda as direções das forças F c o n c e F a ç o , desenhamos ela com uma direção qualquer.

Aplicando o equilíbrio de forças na vertical para a placa rígida, temos que:

∑ F V = 0

- F c o n c - F a ç o = 0

O que significa que:

F a ç o = - F c o n c       (Equação 1)

Infelizmente, além disso, não tem mais nada que conseguimos extrair das equações de equilíbrio.

Então uma solução agora é encontrar uma equação de compatibilidade que nos permita relacionar as forças F a ç o e F c o n c de uma outra forma.

Passo 3

A verdade é que lá no Passo 1 a gente já viu uma equação de compatibilidade.

Vimos lá que, por causa da placa rígida, as variações de comprimento totais δ T O T A L do concreto e do aço devem ser iguais:

δ T O T A L c o n c = δ T O T A L a ç o

Mas para usar essa equação de compatibilidade, precisamos desenvolver ela.

Primeiro, podemos pensar em como a variação de comprimento total em uma peça é a superposição das variações de comprimento devido à cada efeito que existe naquela peça.

No nosso caso, temos:

  • Os efeitos térmicos, que geram uma dilatação térmica δ T = α * Δ T * L ;
  • E os efeitos mecânicos (devido às forças na peça), que geram uma variação de comprimento δ = N L / E A .

Então a nossa equação de compatibilidade pode ser reescrita assim:

δ T c o n c + δ c o n c = δ T a ç o + δ a ç o

Se aplicarmos as fórmulas de δ T e δ para o concreto e para o aço, isso fica assim:

α c o n c Δ T * L + N c o n c L E c o n c A c o n c = α a ç o Δ T * L + N a ç o L E a ç o A a ç o

Aqui, podemos observar duas coisas:

  • Primeiro que como desenhamos no passo anterior as forças F c o n c e F a ç o como forças de tração, as forças internas normais N vão ser N c o n c = F c o n c e N a ç o = F a ç o ;
  • E segundo que podemos cortar L em todos os termos dessa expressão acima.

Dessa forma, a expressão fica assim:

α c o n c Δ T + F c o n c E c o n c A c o n c = α a ç o Δ T + F a ç o E a ç o A a ç o       (Equação 2)

E pronto! Agora já temos duas equações diferentes relacionando F c o n c e F a ç o , o que é o suficiente para que a gente possa calcular essas forças.

Passo 4

Para encontrar F c o n c , podemos substituir F a ç o = - F c o n c da equação 1 na equação 2.

Fazendo isso, temos que:

α c o n c Δ T + ( F c o n c ) E c o n c A c o n c = α a ç o Δ T + - F c o n c E a ç o A a ç o

Colocando todos os termos com F c o n c à esquerda e os demais à direita, temos:

F c o n c E c o n c A c o n c + F c o n c E a ç o A a ç o = α a ç o Δ T - α c o n c Δ T

Colocando F c o n c e Δ T em evidência:

F c o n c 1 E c o n c A c o n c + 1 E a ç o A a ç o = α a ç o - α c o n c Δ T

Daí que, finalmente, isolando F c o n c , encontramos nossa resposta:

Resposta

F c o n c = α a ç o - α c o n c Δ T 1 E c o n c A c o n c + 1 E a ç o A a ç o

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