Exercícios Resolvidos de Tensões Térmicas

Russell Charles Hibbeler, Resistência dos Materiais, 7ª ed. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2010, pp. 109-4.73.

Uma placa de concreto de alta resistência utilizada em uma pista de rolamento tem 6   m de comprimento quando sua temperatura é 10 ° C . Se houver uma folga de 3   m m em um de seus lados antes de tocar seu apoio fixo, determine a temperatura exigida para fechar a folga. Qual é a tensão de compressão no concreto se a temperatura aumentar até 60 ° C ?

Dados: α c o n c = 11 * 10 - 6 / ° C , E c o n c = 29000   M P a .

Passo 1

O que está acontecendo?

A placa de concreto:

  • Tem um comprimento inicial L = 6   m quando ela está submetida a uma temperatura inicial T = 10 ° C ;
  • E possui um coeficiente de dilatação térmica α c o n c = 11 * 10 - 6 / ° C e um módulo de elasticidade E = 29000   M P a .

Além disso, a placa tem uma folga s = 3   m m antes de encostar em seu apoio fixo em um dos seus lados:

Agora, se a temperatura dessa placa variar até uma temperatura final T ' , ela vai sofrer uma dilatação térmica δ T dada pela fórmula:

δ T = α c o n c * Δ T * L

Onde Δ T = T ' - T é a variação de temperatura na placa.

Se essa dilatação térmica δ T for maior que a folga s , a placa vai passar a ser restringida pelos apoios em suas extremidades, que vão realizar forças de reação R nela:

Esse carregamento gera na placa uma variação de comprimento δ .

Pelo princípio da superposição, a variação de comprimento total δ T O T A L na placa vai ser igual à soma da dilatação térmica δ T com essa variação de comprimento δ :

δ T O T A L = δ T + δ

Como ao fechar a folga s , a placa passa a ser impedida de continuar variando o seu comprimento, ainda vamos ter que:

δ T O T A L = s

E o que é que o exercício quer saber?

Primeiro, ele quer que a gente encontre a temperatura final T ( 1 ) ' exigida para que a dilatação térmica δ T = α c o n c * Δ T * L seja igual à folga s .

Em seguida, ele quer saber qual vai ser a tensão normal σ de compressão causada pelas reações R na placa quando a temperatura final for T ( 2 ) ' = 60 ° C .

Não conhecemos a área A da seção transversal da placa para podermos usar a fórmula da tensão normal média σ = N / A .

Então vamos ter que usar a Lei de Hooke σ = E ε para calcular a tensão σ , usando que E = E c o n c e que ε = δ / L .

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Então primeiro, vamos calcular qual é a temperatura final T ( 1 ) ' para que δ T seja igual a folga s .

Da fórmula para δ T , temos que:

δ T = α c o n c * Δ T * L

Agora vamos pensar...

Nessa expressão, podemos substituir Δ T por T ( 1 ) ' - T .

Além disso, queremos saber qual é o valor de T ( 1 ) ' para que δ T = s , então podemos substituir δ T por s .

Fazendo essas substituições, nossa expressão fica assim:

s = α c o n c T ( 1 ) ' - T L

Com isso, podemos isolar T 1 ' para encontrar que:

T 1 ' = s α c o n c L + T

Substituindo nessa expressão os valores:

  • s = 3   m m ;
  • α c o n c = 11 * 10 - 6 / ° C ;
  • L = 6   m = 6000   m m ;
  • & T = 10 ° C ,

E calculando tudo, encontramos o resultado para a primeira parte do exercício:

T 1 ' = 55,45 ° C

Passo 3

Na segunda parte, o exercício quer saber qual é a tensão σ na placa quando a temperatura final é T 2 ' = 60 ° C .

Como vimos no passo 1, vamos ter que usar a Lei de Hooke para calcular essa tensão σ :

σ = E ε

Como o módulo de elasticidade da placa é E c o n c , temos que E = E c o n c .

Além disso, a deformação ε é definida como ε = δ / L .

Substituindo esses valores, a Lei de Hooke fica assim:

σ = E c o n c δ L

Conhecemos os valores de E c o n c = 29000   M P a e de L = 6   m , mas precisamos descobrir o valor da variação de comprimento δ devido ao carregamento na peça.

Passo 4

Para descobrir o valor de δ , podemos recorrer à equação de compatibilidade que obtivemos através do princípio da superposição no Passo 1:

δ T O T A L = δ T + δ

Isolando δ , temos que:

δ = δ T O T A L - δ T

Aqui, sabemos que a variação de comprimento total δ T O T A L máxima que a placa pode sofrer é igual à folga s .

E sabemos que δ T = α c o n c * Δ T * L .

Dessa forma, temos que:

δ = s - α c o n c * Δ T * L

Passo 5

Substituindo essa expressão que acabamos de encontrar para δ na expressão que encontramos no Passo 3 para a tensão σ , temos:

σ = E c o n c s - α c o n c * Δ T * L L

Simplificando, isso fica assim:

σ = E c o n c s L - α c o n c Δ T

Finalmente, substituindo nessa expressão os valores:

  • E c o n c = 29000   M P a ;
  • s = 3   m m ;
  • L = 6   m = 6000   m m ;
  • α c o n c = 11 * 10 - 6 / ° C ;
  • & Δ T = T 2 ' - T = 60 ° C - 10 ° C = 50 ° C

Encontramos o nosso resultado para a segunda parte do exercício:

σ = - 1,45   M P a

Nesse resultado, o sinal de negativo ( - ) indica que essa é uma tensão de compressão.

Como o exercício já afirma que ele quer saber a “tensão normal de compressão”, podemos retirar esse sinal e fornecer o resultado como:

σ c o m p r e s s ã o = 1,45   M P a

E assim está terminado o exercício!

Resposta

T ' = 55,45 ° C

&

σ c o m p r e s s ã o = 1,45   M P a

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