Exercícios Resolvidos de Tensões Térmicas

Russell Charles Hibbeler, Resistência dos Materiais, 7ª ed. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2010, pp. 123-4.114.

A haste de alumínio 2014-T6 tem diâmetro de 12   m m e está levemente conectada aos apoios rígidos em A e B quando T 1 = 25 ° C . Se a temperatura baixar para T 2 = -   20 ° C e uma força axial P = 80   N for aplicada ao colar rígido, como mostra a figura, determine as reações em A e B .

Dados: E a l = 73,1   G P a , α a l = 23 10 - 6 / ° C .

Passo 1

O que sabemos sobre a haste?

A haste A B tem um comprimento inicial L = 325   m m .

Ela é dividida pelo colar rígido (que podemos chamar de “ C ”) em dois segmentos de comprimentos iniciais L A C = 125   m m e L C B = 200   m m .

Além disso, ela tem um diâmetro d = 12   m m , módulo de elasticidade E a l = 73,1   G P a , coeficiente de dilatação térmica α a l = 23 10 - 6 / ° C e uma temperatura inicial T 1 = 25 ° C .

E ela está levemente conectada aos apoios rígidos em A e B , ou seja, os apoios não realizam nenhuma força significativa na haste.

E o que é que está acontecendo?

Quando a temperatura é abaixada para T 2 = - 20 ° C , a haste sofre uma variação de temperatura Δ T = T 2 - T 1 = - 20 - 25 = - 45 ° C .

Por causa dessa variação de temperatura, ela sofre uma contração térmica δ T :

δ T = α a l * Δ T * L

Mas os em A e em B são fixos.

Então eles vão aplicar na haste reações R A e R B com as intensidades que forem necessárias para que a variação de comprimento total na haste seja nula:

δ T O T A L = 0

E, em seguida, ainda é aplicado na haste a carga axial P = 80   N no ponto C .

Dessa forma, o diagrama de corpo livre da haste fica assim:

Essas cargas vão gerar nos segmentos A C e C B forças internas normais N A C e N C B .

Essas forças normais, por sua vez, vão gerar variações de comprimento δ = N L / E A nos segmentos A C e C B .

Daí que pelo princípio da superposição, vamos ter que a variação de comprimento total δ T O T A L = 0 na haste vai ser a soma:

  • Da dilatação térmica δ T ;
  • Da variação de comprimento do segmento A C , δ A C ;
  • E da variação de comprimento do segmento C B , δ C B ;

Ou seja:

δ T O T A L = δ T + δ A C + δ C B = 0

E o que é que o exercício quer?

Ele quer saber qual vai ser o valor das reações R A e R B .

Para encontrar o valor dessas reações, podemos aplicar uma equação de equilíbrio na haste para relacionar as reações com a força P .

Mas isso não vai ser o suficiente para encontrar as duas incógnitas R A e R B .

Então também vamos ter que desenvolver a equação de compatibilidade δ T + δ A C + δ C B = 0 para podermos relacionar R A e R B de alguma outra forma.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Então vamos começar fazendo o diagrama de corpo livre da haste para, em seguida, aplicarmos as condições de equilíbrio nela:

Aqui, a única condição que temos disponível é o somatório de forças na horizontal:

F H = 0

Fazendo esse somatório, vamos ter que:

- R A + P + R B = 0

O que significa que:

R A = P + R B       (Equação 1)

Infelizmente, essa relação não é suficiente para que a gente possa encontrar R A e R B .

Então vamos guardar ela por enquanto e seguir para o próximo passo, que é desenvolver a nossa equação de compatibilidade.

Passo 3

Para desenvolvermos os termos δ A C e δ C B da equação de compatibilidade, temos que conhecer:

  • Os valores das forças normais N nos segmentos A C e C B ;
  • E o valor da área A da seção transversal da haste.

Para encontrar o valor das forças N , vamos fazer uma análise dos esforços internos na haste:

Para seções entre A e C , essa análise fica assim:

Pelo equilíbrio de forças, temos que:

N A C = R A

E para as seções entre C e B , fica assim:

E o equilíbrio de forças nos mostra que:

N C B = R B

Já quanto a área A da seção transversal da haste, sabemos que ela é uma área circular de diâmetro d = 12   m m .

Então podemos aplicar a fórmula da área do círculo em função de seu diâmetro:

A = π d 2 4

E substituir d = 12   m m para encontrarmos que:

A = 113,097   m m 2

Passo 4

Agora sim podemos desenvolver a nossa equação de compatibilidade:

δ T + δ A C + δ C B = 0

Nessa equação, podemos desenvolver a dilatação térmica δ T usando a sua fórmula, que vai ficas assim para a nossa haste de alumínio:

δ T = α a l * Δ T * L

E podemos desenvolver as variações de comprimento δ A C e δ C B devido aos carregamentos em cada segmento da haste usando a fórmula δ = N L / E A .

Aplicando essa fórmula para cada um dos dois segmentos, temos:

δ A C = N A C L A C E A         &       δ C B = N C B L C B E A

E como N A C = R A e N C B = R B , ainda podemos dizer que:

δ A C = R A L A C E A         &       δ C B = R B L C B E A

Dessa forma, a nossa equação de compatibilidade pode ser reescrita assim:

α a l * Δ T * L + R A L A C E A + R B L C B E A = 0         (Equação 2)

E pronto!

Agora podemos combinar as Equações 1 e 2 para encontrarmos os valores de R A e R B !

Passo 5

Substituindo a Equação 1 ( R A = P + R B ) na Equação 2, temos que:

α a l * Δ T * L + P + R B L A C E A + R B L C B E A = 0

Aqui, se conseguirmos isolar R B nessa equação, vamos conseguir encontrar o seu valor.

Para isolar R B , podemos primeiro passar α a l * Δ T * L para o outro lado e colocar 1 / E A em evidência:

1 E A P + R B L A C + R B L C B = - ( α a l * Δ T * L )

Em seguida, passamos E A para o outro lado e desenvolvemos o lado esquerdo:

P L A C + R B L A C + R B L C B = - α a l * Δ T * L E A

E depois, passamos P L A C para o outro lado e colocamos R B em evidência:

R B L A C + L C B = - ( α a l * Δ T * L ) E A - P L A C

Por fim, conseguimos isolar R B e encontrar que:

R B = - ( α a l * Δ T * L ) E A - P L A C L A C + L C B

Se quisermos, ainda podemos perceber que a soma ( L A C + L C B ) dos comprimentos dos dois segmentos da haste é o mesmo que o comprimento total L da haste.

Dessa forma, a expressão para R B fica assim:

R B = - ( α a l * Δ T * L ) E A - P L A C L

E ainda pode ser simplificada para ficar assim:

R B = - α a l * Δ T E A - P L A C L

Substituindo os valores...

  • α a l = 23 10 - 6 / ° C ;
  • Δ T = - 45 ° C ;
  • E = 73,1   G P a = 73,1   k N / m m 2
  • & A = 113,097   m m 2 ,

...vamos encontrar que o termo - α a l * Δ T E A vale:

- α a l * Δ T E A = 8,557   k N

Já substituindo...

  • L A C = 125   m m ;
  • L = 325   m m ;
  • & P = 80   N ,

...vamos encontrar que - P ( L A C / L ) vale:

- P L A C L = - 31   N

Sendo assim, R B vai ser:

R B = 8,557   k N - 31   N

R B = 8,557   k N - 0,031   k N

R B = 8,526   k N

Encontrado R B , podemos voltar na Equação 1:

R A = P + R B

E substituir P = 80   N = 0,080   k N e R B = 8,526   k N para encontramos que:

R A = 8,606   k N

E assim terminamos o exercício! 🎉

Resposta

R A = 8,606   k N

&

R B = 8,526   k N

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