Exercícios Resolvidos de Tensões Térmicas

Russell Charles Hibbeler, Resistência dos Materiais, 7ª ed. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2010, pp. 110-4.81.

A haste central C D do conjunto é aquecida de T 1 = 30 ° C até T 2 = 180 ° C por resistência elétrica. As duas hastes A B e E F situadas nas extremidades também são aquecidas de T 1 = 30 ° C até T 2 = 50 ° C . Na temperatura mais baixa, T 1 , a folga entre C e a barra rígida é 0,7   m m . Determine a força nas hastes A B e E F provocada pelo aumento na temperatura. As hastes A B e E F são feitas de aço e cada uma tem área de seção transversal de 125   m m 2 . C D é feita de alumínio e tem área de seção transversal de 375   m m 2 .

Dados: E a ç o = 200   G P a , E a l = 70   G P a , α a ç o = 12 ( 10 - 6 ) / ° C e α a l = 23 ( 10 - 6 ) / ° C .

Passo 1

O que está acontecendo?

A haste central de alumínio C D tem:

  • Um comprimento inicial L a l = 240   m m ;
  • Um coeficiente de dilatação térmica α a l = 23 10 - 6 / ° C ;
  • Uma área de seção transversal A a l = 375   m m 2 ;
  • Um módulo de elasticidade E a l = 70   G P a ,

& vai sofrer uma variação de temperatura Δ T a l = 180 ° C - 30 ° C = 150 ° C .

Por outro lado, para as hastes laterais de aço A B e E F , vamos ter que:

  • L a ç o = 300   m m ;
  • α a ç o = 12 10 - 6 / ° C ;
  • A a ç o = 125   m m 2 ;
  • E a ç o = 200   G P a ;
  • & Δ T a ç o = 50 ° C - 30 ° C = 20 ° C .

Dessa forma, essas hastes vão sofrer dilatações térmicas δ T que vão ser dadas pela fórmula:

δ T = α * Δ T * L

Mas essas hastes não podem se dilatar livremente devido a existência da barra rígida B F que elas suportam.

Por causa dessa barra, as hastes têm que se dilatar de tal forma que:

  • O deslocamento do ponto central da barra rígida (igual à variação de comprimento total δ T O T A L a l da haste central de alumínio menos a folga s = 0,7   m m )...
  • ...seja igual ao deslocamento dos pontos laterais da barra rígida (igual à variação de comprimento total δ T O T A L a ç o das hastes laterais de aço).

Ou seja:

δ T O T A L a l - s = δ T O T A L a ç o

Mas a variação de comprimento total de uma haste é a soma entre a dilatação térmica δ T e a variação de comprimento δ causada pelo carregamento na haste.

Dessa forma, a expressão acima pode ser reescrita assim:

δ T a l + δ a l - s = δ T a ç o + δ a ç o

(Essa é a equação de compatibilidade desse sistema!)

E como vai ser o carregamento nas hastes?

Bom...

Como α a l é quase o dobro de α a ç o , podemos imaginar que a haste central C D de alumínio vai se dilatar muito mais que as hastes laterais A B e E F de aço.

Então vamos ter a haste C D empurrando a barra rígida para cima com uma força F C D enquanto que A B e E F puxam a barra para baixo com forças F A B e F E F :

Como uma reação às forças F A B e F E F para baixo, a barra rígida vai puxar as hastes A B e E F para cima com forças de mesma intensidade, tracionando elas.

Já como uma reação à força F C D para cima, a barra rígida vai empurrar a haste C D para baixo com uma força de mesmo intensidade, comprimindo ela.

São essas forças de tração e compressão que vão gerar as variações de comprimento δ a l e δ a ç o devido ao carregamento nas hastes, de acordo com a fórmula:

δ = N L E A

Onde N é a força interna normal em cada haste.

E o que é que o exercício quer?

Ele quer que a gente encontre o valor das forças F A B e F E F .

Para encontrar essas forças, vamos ter que:

  • Aplicar as condições de equilíbrio no diagrama de corpo livre da barra rígida B F que fizemos acima;
  • & desenvolver a equação de compatibilidade que encontramos;

Com isso, vamos ter equações o suficiente relacionando os valores de F A B , F C D e F E F para que a gente possa calcular essas forças! 💃

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Então vamos começar fazendo o diagrama de corpo livre da barra B F ...

...e aplicando as condições de equilíbrio nessa barra!

Temos duas condições disponíveis aqui: o equilíbrio de forças na vertical e o equilíbrio de momentos em relação a um ponto.

Começando pelo equilíbrio de momentos em relação a um ponto, vamos escolher o ponto central C :

M C = 0

Se a gente chamar de x a distância entre o ponto central C e as extremidades B e F , esse somatório de momentos fica assim:

F A B x - F E F x = 0

O que significa que:

F A B = F E F       (Equação 1)

Já para o equilíbrio de forças na vertical, temos:

F V = 0

Fazendo esse somatório, encontramos que:

- F A B + F C D - F E F = 0

Isolando F C D , temos:

F C D = F A B + F E F

Mas como acabamos de encontrar que F A B = F E F , isso significa que:

F C D = 2 F A B       (Equação  2 )

Passo 3

Em seguida, vamos desenvolver nossa equação de compatibilidade.

Como vimos no Passo 1, temos que:

δ T a l + δ a l - s = δ T a ç o + δ a ç o

Nessa equação, podemos desenvolver as dilatações térmicas δ T usando a fórmula:

δ T = α * Δ T * L

Aplicando essa fórmula para a barra de alumínio e para as barras de aço, vamos ter que:

δ T a l = α a l Δ T a l L a l

&

δ T a ç o = α a ç o Δ T a ç o L a ç o

E podemos desenvolver as variações de comprimento δ devido ao carregamento nas peças usando a fórmula:

δ = N L E A

No nosso caso, temos que a força interna normal N vai ser:

  • E igual à - F C D para a haste central C D de alumínio que vai estar sob compressão.
  • Igual à F A B = F E F para as hastes laterais de aço que vão estar sob tração;

Então as variações δ para cada material vão ser:

δ a l = - F C D L a l E a l A a l

&

δ a ç o = F A B L a ç o E a ç o A a ç o

Substituindo tuuuudo isso na nossa equação de compatibilidade, ela fica assim:

α a l Δ T a l L a l + - F C D L a l E a l A a l - s = α a ç o Δ T a ç o L a ç o + F A B L a ç o E a ç o A a ç o       (Equação 3)

Eita!

Mas pensa aí... 🤔

Já temos o que precisamos para resolver o exercício:

  • Queremos encontrar o valor da força F A B = F E F ;
  • E já temos duas equações (as equações 2 e 3) que relacionam as forças F A B e F C D , então podemos combinar essas equações para encontrar essas forças!

Passo 4

Então vamos substituir a equação 2 ( F C D = 2 F A B ) na equação 3 que acabamos de encontrar no passo anterior.

Fazendo isso, vamos ter que:

α a l Δ T a l L a l + - 2 F A B L a l E a l A a l - s = α a ç o Δ T a ç o L a ç o + F A B L a ç o E a ç o A a ç o

Com isso, o nosso último objetivo é isolar F A B nessa expressão!

Deixando todos os termos com F A B de um lado e os demais termos do outro, essa expressão fica assim:

α a l Δ T a l L a l - α a ç o Δ T a ç o L a ç o - s = F A B L a ç o E a ç o A a ç o + 2 F A B L a l E a l A a l

Colocando F A B em evidência, temos que:

α a l Δ T a l L a l - α a ç o Δ T a ç o L a ç o - s = F A B L a ç o E a ç o A a ç o + 2 L a l E a l A a l

O que significa que:

F A B = ( α a l Δ T a l L a l - α a ç o Δ T a ç o L a ç o - s ) L a ç o E a ç o A a ç o + 2 L a l E a l A a l

Por fim, se substituirmos nessa expressão os seguintes valores...

  • α a l = 23 10 - 6 / ° C e Δ T a l = 150 ° C ;
  • α a ç o = 12 10 - 6 / ° C e Δ T a ç o = 20 ° C ;
  • L a l = 240   m m , L a ç o = 300   m m e s = 0,7   m m ;
  • E a ç o = 200   G P a e A a ç o = 125   m m 2 ;
  • & E a l = 70   G P a e A a l = 375   m m 2 ,

...e lembrarmos que G P a é o mesmo que k N / m m 2 , vamos ter que todas as unidades vão estar em função de ° C , m m e k N .

Então o resultado para a força F A B nessa expressão vai sair em k N .

Substituindo tudo e calculando F A B , que é igual à F E F , vamos encontrar a nossa resposta:

Resposta

F A B = F E F = 1,85   k N

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