Exercícios Resolvidos de Teorema de Pitágoras

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Enunciado

30. Sejam x , y e z os lados de um triângulo retângulo, onde x é a hipotenusa. Se o triângulo tem perímetro igual a 6 , indique a área deste triângulo em função da hipotenusa.

Passo 1

Oi, galerinha! Tudo bom? O enunciado nos descreveu o seguinte triângulo retângulo:

E nos disse que o perímetro é igual a 6 , ou seja,

x + y + z = 6

Agora precisamos encontrar a área deste triângulo. Lembrando que a área do triangulo é dada por:

Á r e a = b a s e   × a l t u r a 2

Ou seja, pelos nosso triângulo, temos que

A = y   × z 2  

Bora lá!

Passo 2

Para começar, temos que nos atentar a um ponto, o enunciado pede para que a área deste triângulo em função da hipotenusa. Ou seja, vamos ter que encontrar uma relação dos outros lados com a hipotenusa x .

Para isso, vamos usar o nosso famoso Teorema de Pitagoras, que nos diz que a soma do quadrado do catetos é igual ao quadrado a hipotenusa. Logo,

y 2 + z 2 = x 2

Isolando x , ficamos com

x = y 2 + z 2

Agora vamos isolar x na fórmula do perimétrico

x + y + z = 6

x = 6 - y + z

Igualando as duas equações, ficamos com

6 - y + z = y 2 + z 2

6 - y + z 2 = y 2 + z 2

Abrindo o lado esquerdo,

36 - 12 y + z + y + z 2 = y 2 + z 2

36 - 12 y + z + y 2 + 2 y z + z 2 = y 2 + z 2

Simplificando os termos comuns dos dois lados, ficamos com

36 - 12 y + z + 2 y z = 0

Isolando 2 y z do lado esquedor, ficamos com:

2 y z = - 36 + 12 y + z

E

y z = - 36 + 12 y + z 2

Então

y z = - 18 + 6 y + z

Lembra que a área é dada por A = y z 2 ? Então vamos isolar este termo,

A = y z 2 = - 18 + 6 y + z 2

A = y z 2 = - 9 + 3 y + z

Agora temos que deixar em função de x , como o enunciado pede.

Passo 3

Galerinha, para deixar tudo em função de x vamos lembrar de uma expressão que a gente já passou e está bem parecida com a expressão que achamos para área! Vamos olhar para expressão do perímetro:

x = 6 - y - z

Repara que passando y e z para o lado esquerdor e o x para o direito, ficamos com

y + z = 6 - x

Substituindo essa expressão no cálculo da área ficamos com

A = - 9 + 3 y + z

A = - 9 + 3 6 - x

A = - 9 + 18 - 3 x

A = 9 - 3 x

Prontinho!

Resposta

A = 9 - 3 x