Exercícios Resolvidos de Teorema do Resto das Séries Alternadas de Taylor

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Enunciado

Considere a sequencia a n cujo termo geral é dado por a n = n n 4 + 7 n - 5

  1. Mostre que a série ∑ n = 1 + ∞ - 1 n a n é convergente.
  2. Ao aproximarmos a soma de série ∑ n = 1 + ∞ - 1 n a n usado os seus dez primeiros termos, estime o erro envolvido nesta aproximação.
  3. Baseado no item acima determine quanto termos são necessários para garantir que a aproximação tenha um erro menor que 0,0002 .

Passo 1

Faaaaaala, galera... Tranquileba?? Mogli na área 😊. Bora responder Aí essa questão?

A questão nos dá uma sequência, e pede para nós obtermos algumas informações a respeito desta série, como por exemplo se ela converge ou não, se somarmos os primeiros termos dela qual será o erro. Mas deve estar se pensando o que é a convergência de uma sequência, e como calcular isso, e também com calcular o erro estimado.

Convergência é quando a série mesmo indo para infinito ainda tem um valor exato. É mais fácil explicando quando ela não tem um valor exato, como quando temos 1 0 , isto é impossível, e por não ser um valor é chamado de divergência, o contrário da convergência. Mas como que eu analiso isso?

Intuitivamente devemos elevar o a sequência para uma série de termos infinitos, e ver se ela indo para o infinito converge ou não. No nosso caso, podemos usar um teorema muito importante, que é chamado de teorema das séries alternadas. Ele consiste basicamente em: se uma série é alternada, ou seja, alterna entre positivos e negativos, e obedecer a a n + 1 ≤ | a n | ou seja, seu termo atual é maior ou igual ao próximo, e também o seu limite tendendo ao infinito for 0, então essa série é divergente.

Mas sobre o erro estimado ao fazermos a soma da série?

O calculo do erro estimado ao somarmos uma série é dador por:

R N | = s - s N ≤ a N + 1

Sendo N a N-ésima soma, e s a série e R N o erro estimado associado.

Espero que tenha conseguido compreender, de qualquer forma estou no próximo passo te esperando.

Bora pro próximo passo?!

Passo 2

Obrigado por vir.

Então para a)

Então sabemos que ∑ n = 1 + ∞ - 1 n a n é uma série alternada, sendo a n = n n 4 + 7 n - 5 , então podemos aplicar o teorema das séries alternadas. Então primeiro, vamos ver se a n + 1 ≤ | a n | , podemos fazer por exemplo para n = 11 , logo n + 1 = 12 . Assim, se:

| a n | - | a n + 1 | ≥ 0

Ou seja, se a diferença entre o termo atual e seu próximo for maior que 0 , significa que o termo atual é maior que o próximo. Logo:

| a n | - | a n + 1 = 11 11 4 + 7 11 - 5 - 11 + 1 11 + 1 4 + 7 11 + 1 - 5

E de fato esse resultado é maior que 0 . Portanto | a n | - | a n + 1 | ≥ 0 . Agora temos que ver se o limite com n no infinito é 0 . Assim:

lim n → ∞ ⁡ a n = lim n → ∞ ⁡ n n 4 + 7 n - 5

Podemos substituir e dividir por n , e teremos:

lim n → ∞ ⁡ 1 n 3 + 7 - 5 n

Se n vai para infinito então concorda comigo que 5 n = 0 ? Afinal se um numero é dividido por um muito maior que ele, ele obviamente será muito pequeno, e se esse for muito grande ainda (muito mesmo) o resultado vai praticamente para 0 . Assim:

lim n → ∞ ⁡ 1 n 3 + 7

E você concorda que se um numero é muito grande (muito mesmo) um numero pequeno não faz diferença para ele. Por exemplo, o que 2 somaria à 1 trilhão? Nada, praticamente. Agora imagina um infinito como que seria? Isso mesmo, nada!! Assim n 3 + 7 → n 3 sendo n → ∞ . Logo temos:

lim n → ∞ ⁡ 1 n 3

E pelo mesmo motivo que demos antes, de dividir um número por um muito maior, concluímos que:

lim n → ∞ ⁡ 1 n 3 = 0

E, portanto:

lim n → ∞ ⁡ n n 4 + 7 n - 5 = 0

E vemos que ambos as imposições para o teorema das séries alternadas foram confirmadas, portanto a série ∑ n = 1 + ∞ - 1 n a n é sim convergente.

Passo 3

Para b)

Temos então

| R N | = s - s N ≤ a N + 1

É nos dito que N = 10 , assim:

R 10 = s - s 10 ≤ a 11

E assim:

R 10 ≤ a 11 = 11 11 4 + 7 * 11 - 5 = 0,75 * 10 - 3

E para o próximo para o é fazermos o inverso disso.

Passo 4

Para c)

Aplicando a mesma fórmula:

| R N | = s - s N ≤ a N + 1

Substituindo R N = 0,0002 . Então, até que termo temos que somar para obter um erro menor que 0,0002 ? Bom, fazendo:

R N = a N + 1

0,0002 = n ' n ' 4 + 7 * n ' - 5

Multiplicando e dividindo por n ' 4 + 7 * n ' - 5 :

0,0002 * n ' 4 + 7 * n ' - 5 = n '

Abrindo:

0,0002 * n ' 4 + 0,0014 * n ' - 0,001 = n '

Deixando tudo do mesmo lado:

0,0002 * n ' 4 - 0,9986 * n ' - 0,001 = 0

Fazendo essa conta, que não é fácil, obtemos:

n ' ≈   17

Mas lembre-se, o resto é com relação à a n + 1 então vemos que n + 1 = 17 → n = 16 , então temos que somar até o 16 ° termo para obtermos um erro estimado de 0,0002

E terminamos por aqui. Camarada. Obrigado por ter vindo até aqui comigo. Até a próxima!

Resposta

Para a: provado no passo 2

Para b:

0,75 * 10 - 3

Para c)

n = 16

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