Exercícios Resolvidos de Teorema do Resto das Séries Alternadas de Taylor

George B. Thomas e Weir Hass Giordano, Cálculo –Volume 2, 11ª ed. São Paulo: Pearson Education do Brasil ltda., 2009, pp. 136-28.

Você planeja estimar π / 4 pela determinação da série de Maclaurin para t g - 1   x em   x = 1 . Use o teorema da estimação de séries alternadas para determinar quantos termos da série você tem de adicionar para ter certeza de que a estimativa tem precisão de duas casas decimais.

Passo 1

Neste exercício o enunciado já nos dá que a função deve estar escrita como série de Maclaurin, então

t g - 1   x = n = 0 - 1 n x 2 n + 1 2 n + 1 = x - x 3 3 + x 5 5 - x 7 7 +

Que é uma série alternada!

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Assim, podemos usar o teorema das séries alternadas para avaliar o erro!

Sabemos, pelo enunciado, que a aproximação deve ter precisão de duas casas decimais, logo

e 0.01

Como, pelo teorema,

e x 2 n + 1 2 n + 1

Então devemos ter, para x = 1

1 2 n + 1 2 n + 1 0.01

1 2 n + 1 0.01

2 n + 1 > 100

n > 49

Resposta

O resultado nos diz que para a precisão pedida, devemos pegar mais que 49 termos!

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