Exercícios Resolvidos de Teorema do Resto das Séries Alternadas de Taylor

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Enunciado

Dados

f 0 = 1 ,           f ' 0 = 1 2 ,           f ' ' 0 = - 1           e           f ' ' ' 0 = 3 ,

Quais são os quatro primeiros termos não nulos da série de Maclaurin de f ?

Passo 1

E aí galerinha, como vocês estão por aí?

Pegamos essa questão de séries e equações diferenciais e nós vamos destruir do jeitinho Responde Aí!

O enunciado cita que temos uma série de Maclaurin de f com os seguintes termos f 0 = 1 ,     f ' 0 = 1 2 ,     f ' ' 0 = - 1   e   f ' ' ' 0 = 3 .

O macete para resolvermos essa questão rapidola é relembrar que a série de Maclaurin da função f x é escrita na forma:

f x = f 0 + f ' 0 1 ! x + f ' ' 0 2 ! x 2 + f ' ' ' 0 3 ! x 3 + …

Passo 2

Vamos associar os termos dados no enunciado com a série de Maclaurin!

Sendo assim temos que o primeiro termo não nulo:

f 0 = 1

Segundo termo não nulo:

f ' 0 1 ! x = f ' 0 = 1 2

Integrando, teremos.

∫ f ' 0 = ∫ 1 2 = 1 2 x

Terceiro termo não nulo:

f ' ' 0 2 ! x 2 = f ' ' 0 = - 1  

Integrando, teremos.

∫ f ' ' 0 2 ! x 2 = ∫ - 1 = - 1 2 x 2

Quarto termo não nulo:

f ' ' ' 0 3 ! x 3 = f ' ' ' 0 = 3  

Integrando, teremos.

∫ f ' ' ' 0 3 ! x 3 = ∫ 3 = 1 2 x 3

Passo 3

Portanto temos que a série dos quatro primeiros termos da série de Maclaurin é:

1 + 1 2 - 1 2 x 2 + 1 2 x 3

Essa questão foi dificinha, né?

Vamos chegamos ao fim, ufaaa

Resposta

1 + 1 2 - 1 2 x 2 + 1 2 x 3

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