Exercícios Resolvidos de Teorema do Resto das Séries Alternadas de Taylor

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Enunciado

Desenvolva em série de potências de x a seguinte função e calcule f ( 1 ) com erro inferior a 10 - 3

f x = ∫ 0 x 1 - cos ⁡ ( t ) t d t

Passo 1

Nós já vimos em um exercício de fixação como fica a série de Taylor do cosseno:

cos ⁡ x = ∑ n = 0 ∞ - 1 n x 2 n ( 2 n ) ! ,   R = ∞

Vamos substituir isso:

1 - cos ⁡ ( t ) t = 1 - ∑ n = 0 ∞ - 1 n t 2 n ( 2 n ) ! t = - ∑ n = 1 ∞ - 1 n t 2 n 2 n ! t = ∑ n = 1 ∞ - 1 n + 1 t 2 n - 1 ( 2 n ) !

Perceba que quando n = 0 o termo da série fica - 1 , ele acaba cortando 1 com - 1 , por isso a série agora começa de n = 1 a , não de n = 0 , beleza?!

Passo 2

Que beleza galerinha, temos a série que expressa essa função, agora vamos colocar ela na integral:

f x = ∫ 0 x ∑ n = 1 ∞ - 1 n + 1 t 2 n - 1 ( 2 n ) ! = ∑ n = 1 ∞ - 1 n + 1 t 2 n 2 n ! 2 n 0 x = ∑ n = 1 ∞ - 1 n + 1 x 2 n 2 n ! 2 n

Passo 3

Assim, quem seria f 1 = ?

f 1 = ∑ n = 1 m - 1 n + 1 2 n ! 2 n + E m ( 1 )

A gente quer descobrir quem é m tal que E M 1 < 10 - 3

Como é uma série alternada, sabemos que podemos fazer o seguinte:

E m 1 ≤ a m + 1 = 1 2 m + 2 2 m + 2 ! < 10 - 3

Assim:

2 m + 2 2 m + 2 ! > 10 3

Assim, fazendo testes:

m = 2 → 6.6 ! > 10 3

Com isso sabemos que m = 2 satisfaz a nossa necessidade! Assim a solução é:

f 1 = ∑ n = 1 2 - 1 n + 1 2 n ! 2 n = 1 2.2 ! - 1 4.4 ! = 1 4 - 1 96 = 23 96

Resposta

f 1 = ∑ n = 1 2 - 1 n + 1 2 n ! 2 n = 23 96

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