Exercícios Resolvidos de Teorema do Resto das Séries Alternadas de Taylor

USP, Cálculo 4, P2 - 2011, Questão 1

  1. Escreva
  2. 0 1 1 8 + x 3 d x

    Como soma de uma série numérica.

  3. Obtenha um valor aproximado de

0 1 1 8 + x 3 d x

Com erro inferior e 10 - 3

Passo 1

a)

Bem, ele quer essa integral como série numérica, e agora? Uma coisa que podemos fazer é escrever aquela expressão dentro como uma série numérica e depois integrar a série que achamos.

Beleza, então queremos na verdade escrever a seguinte função como série numérica

f x = 1 8 + x 3

Para escrever uma função como série numérica usamos séries de potências, na verdade a série de Taylor. Essa função é meio bizarra de derivar então tentar fazer dessa forma não é a mais interessante.

Mas e agora o que fazer? Olha a “coincidência”, aquela função f x , lembra uma série geométrica.

A série geométrica é

n = 0 a n = 1 1 - a

E como coloquei ali, sabemos o valor da série geométrica. Lembre-se que esse valor só vale para

a < 1

Isso não foi nada coincidência, ele colocou aquela função assim de proposito, porque assim podemos fazer uma série para f x , usando algo parecido com a série geométrica.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Vamos aqui escrever a nossa série, para isso vamos comparar o resultado da série geométrica com a função que tínhamos

f x = 1 8 + x 3

E

1 1 - a

Queremos algo com 1 no denominador, vamos dar uma arrumada

f x = 1 8 1 1 + x 3 8

Assim na verdade temos uma série de potência assim

n = 0 b . a n = b 1 - a

Nesse caso vamos ter

b = 1 8

E

a = - x 3 8

E vamos ter

f x = 1 8 + x 3 = n = 0 1 8 . - x 3 8 n

Dando uma arrumada temos

1 8 + x 3 = n = 0 x 3 n 8 - 8 n

1 8 + x 3 = n = 0 - 1 n x 3 n 2 3 n + 3

Lembrando que devemos ter

- x 3 8 < 1

Isso nos diz que essa série vale para

x < 2

Passo 3

Vamos agora para a integral, temos que

0 1 1 8 + x 3 d x = 0 1 n = 0 - 1 n x 3 n 2 3 n + 3 d x = n = 0 0 1 - 1 n x 3 n 2 3 n + 3 d x

Podemos fazer isso porque ele quer a integral no intervalo de

x 0,1

E vimos que essa série que fizemos no passo 2 vale para x < 2 , o intervalo que está a integral está nesse intervalo.

Vamos fazer aquela integral

0 1 - 1 n x 3 n 2 3 n + 3 d x = - 1 n 2 3 n + 3 0 1 x 3 n d x =

= - 1 n 2 3 n + 3 x 3 n + 1 3 n + 1 0 1 =

= - 1 n 2 3 n + 3 1 3 n + 1 - 0 3 n + 1 =

- 1 n 2 3 n + 3 3 n + 1

E a nossa integral vai ficar

0 1 1 8 + x 3 d x = n = 0 - 1 n 2 3 n + 3 3 n + 1

Achamos a nossa série.

Passo 4

b)

Agora ele quer o valor aproximado da integral.

Para isso temos que pegar uma parte daquele somatório, ou seja, o truncamento dele, seria

0 1 1 8 + x 3 d x n = 0 k - 1 n 2 3 n + 3 3 n + 1

Mas não sabemos quem é aquele k . Mas ele disse o valor do erro, precisa ser menor que 10 - 3 .

Temos uma série alternada, então vamos usar o erro pelo critério de Liebniz.

e r r o = S - S k < a k + 1

Esse a k + 1 é o termo geral em k + 1 da nossa série

Vamos ter

e r r o < a k + 1 = - 1 k + 1 2 3 k + 1 + 3 3 k + 1 + 1

e r r o < 1 2 3 k + 6 3 k + 4

Basta fazer aquele termo ali que achamos com k ser menor que 10 - 3 que o nosso erro vai ser menor também.

Queremos

1 2 3 k + 6 3 k + 4 < 10 - 3

Então

2 3 k + 6 3 k + 4 > 10 3

Aqui vai na tentativa e erro

k = 0 2 6 4 = 64.4 = 128 < 10 3

k = 1 2 3 + 6 3 + 4 = 2 9 . 7 = 3584 > 10 3

Beleza, então basta pegar k = 1

Passo 5

Agora que sabemos o valor de k , vamos ter

0 1 1 8 + x 3 d x n = 0 1 - 1 n 2 3 n + 3 3 n + 1

0 1 1 8 + x 3 d x - 1 0 2 3 1 + - 1 1 2 3 + 3 3 + 1

0 1 1 8 + x 3 d x 1 8 - 1 256

0 1 1 8 + x 3 d x 32 - 1 256

0 1 1 8 + x 3 d x 31 256

Resposta

  1. 0 1 1 8 + x 3 d x = n = 0 - 1 n 2 3 n + 3 3 n + 1
  2. 0 1 1 8 + x 3 d x 31 256

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