Exercícios Resolvidos de Teorema do Resto das Séries Alternadas de Taylor

George B. Thomas e Weir Hass Giordano, Cálculo –Volume 2, 11ª ed. São Paulo: Pearson Education do Brasil ltda., 2009, pp. 136-21.

Quão precisa é a aproximação s e n   x = x quando x < 10 - 3 ? Para quais desses valores de x ocorrerá de x < s e n x ?

Passo 1

Neste exercício o enunciado já nos da que a função deve estar escrita como série de Maclaurin, então

s e n   x = x - x 3 6 + x 5 120 -

Que é uma série alternada!

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Assim, podemos usar o teorema das séries alternadas para avaliar o erro!

Pelo teorema das séries alternadas, temos

e x 3 6

Sabemos, pelo enunciado, que

x < 10 - 3

Assim, devemos ter

e x 3 6 x 3 6

e x 3 6 x 3 6 10 - 3 3 6 = 10 - 9 6

e 10 - 9 6

e 1,67 × 10 - 10

Passo 3

Quermos encontrar os valores de x para x < s e n x , então vamos tentar relacionar isso com o erro da série!

R 2 x = f x - T 2 x

Substituindo

f x = s e n   x

T 2 x = x

Temos,

R 2 x =   s e n x - x

Queremos encontrar os valores para os quais,

x < s e n ( x )

0 < s e n x - x

0 < R 2 ( x )

Passo 4

Agora vamos encontrar os valores de x   que nos dão o resto positivo!

O resto tem o mesmo sinal do primeiro termo da série a ser cortado, ou seja, o mesmo sinal de

- x 3 6

Esse termo somente é positivo para x < 0

Como x < 10 - 3 ,

- 10 - 3 < x < 0

Resposta

Quando x < 10 - 3 , s e n   x pode ser aproximado por s e n   x = x com precisão de 1,67 × 10 - 10

E para - 10 - 3 < x < 0 , temos que x < s e n x .

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