Exercícios Resolvidos de Teoremas de Pappus

Ver Teoria

Enunciado

O arco circular é girado de 360 ° em torno do eixo y . Determine a área superficial externa S do corpo resultante, que é uma parte de uma esfera.

Passo 1

Primeiro precisamos saber a distância entre o centróide do semicírculo e o eixo y . Para isso, vamos usar a seguinte fórmula:

x - = a s e n θ θ

O ângulo θ é de 30 ° , mas temos que passar isso para radianos. Vamos fazer uma regra de 3 sabendo que 180 ° corresponde a π radianos:

180 °       →           π 30 °       →               θ

θ = π 6

Agora sim podemos calcular a coordenada x - do centróide:

x - = a s e n π 6 π 6       →           x - = a 1 2 π 6

x - = 3 a π

Passo 2

Então, vamos usar a nossa fórmula para calcular a área da superfície:

A = 2 π r - L

O r - é a distância do centróide até o eixo em torno do qual a figura gira que é o eixo y . Repare que o r - é igual a x - :

r - = x - = 3 a π

E L é o perímetro. O perímetro de um círculo completo, ou seja, com 360 ° é calculado por 2 π r . Então, o comprimento para 30 ° é só fazermos uma regra de 3 :

360 °       →         2 π r 30 °       →               L

L = π r 6

Então, o comprimento L da nossa figura é:

L = π r 6       →         L = π a 6

Então, a área superficial é:

A = 2 π r - L       →         A = 2 π 3 a π π a 6

A = π a 2

Como são dois setores com 30 ° :

A T = 2 A = 2 π a 2

Resposta

A T = 2 π a 2

Exercícios de Livros Relacionados

A área de um setor circular é girada de 180° em torno do eixo y. Determine o volume do corpo resultante, o qual é parte de uma esfera.
A caixa d’água AB tem tampa hemisférica e é construída com placas de aço finas. Determine o volume dentro da caixa.
Um  anel  é  gerado  ao  girar-se  a  área  de  um  quarto de círculo em torno do eixo x. Determine seu  volume.
Determine o volume do material necessário para realizar a moldagem.
Determine a área da superfície interior do pistão de freio. Ele consiste em uma peça completamente circular. Sua seção transversal aparece na figura.