Exercícios Resolvidos de Teoremas de Pappus

J.L. Meriam & L.G. Kraige, Mecânica para engenharia, Estática, 6° ed. RJ: LTC, 2012, 201, 5/81

O tanque de armazenamento de água é uma casca de revolução e deve ser recoberto com duas camadas de tinta, que dá uma cobertura de 16   m 2 por galão. O engenheiro (que se lembra de mecânica) consulta um desenho em escala do tanque e determina que a linha curva A B C tem um comprimento de 10   m e que seu centróide está a 2,5   m da linha do centro do tanque. Quantos galões de tinta serão usados para o tanque, incluindo a coluna cilíndrica vertical?

Passo 1

Temos duas áreas: a do cilindro e a da esfera:

A = A c i l i n d r o + A e s f e r a

Para achar a área da superfície de um cilindro temos que usar a seguinte fórmula:

A = 2 π r h

Onde h é a altura do cilindro e r é o raio.

Repare que o nosso cilindro é:

Então, a área superficial do nosso cilindro é:

A c i l i n d r o = 2 π r h       →         A c i l i n d r o = 2 π ( 1,25 ) ( 6 )

A c i l i n d r o = 47,12   m 2

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Já para a esfera, vamos usar a nossa fórmula:

A e s f e r a = 2 π r - L

Já foi dito no enunciado que o centróide da curva A B C é de 2,5   m , então:

r - = 2,5   m

E o perímetro L também foi dado no enunciado e vale:

L = 10   m

Com esses dados, podemos calcular a área da superfície da esfera:

A e s f e r a = 2 π r - L       →     A e s f e r a = 2 π 2,5 10

A e s f e r a = 157,08   m 2

Passo 3

Agora vamos calcular a área total:

A = A c i l i n d r o + A e s f e r a       →       A = 47,12 + 157,08

A = 204,20   m 2

Passo 4

Foi dito no enunciado que um galão cobre 16   m 2 , então vamos fazer uma regra de três para achar o número de galões necessário para cobrir esta área que calculamos:

1   g a l ã o       →         16   m 2   n   g a l õ e s       →         204,20  

Então:

n = 204,20 16 = 12,76

Mas repare que no enunciado foi dito que serão dadas duas camadas de tinta, ou seja, temos que dobrar a quantidade de galões:

n = 2 12,76 = 25,5   g a l õ e s

Resposta

25,5   g a l õ e s

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