Exercícios Resolvidos de Teoremas de Pappus

J.L. Meriam & L.G. Kraige, Mecânica para engenharia, Estática, 6° ed. RJ: LTC, 2012, 201, 5/89

Calcule o peso W do fundido de alumínio mostrado. O sólido é gerado pela revolução de 180 ° da área trapezoidal mostrada, em torno do eixo z . Considere que a massa específica µ do alumínio é de 2690   k g / m 3 .

Passo 1

A área que vamos usar pra gerar o volume é dada abaixo:

Mas veja: Ela pode ser dividida em duas regiões: A verde e a azul.

Sabe como podemos usar isso ao nosso favor? O volume do sólido vai ser a soma dos volumes gerados das duas regiões:

V = V v e r d e + V a z u l

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Vamos começar com a parte azul. Vamos usar:

V a z u l = π r - 1 A 1

A área é a área do retângulo:

A 1 = 50 75 = 3750   m m 2

E r - 1 vai ser a distância do centro do retângulo até o eixo em torno do qual a figura gira, neste caso o eixo z :

Então:

r - 1 = 50 + 75 2 = 87,5   m m

Assim:

V a z u l = π r - 1 A 1     →           V a z u l = π 87,5 3750

V a z u l = 1030835,09   m m 3

Vamos passar isso para metros, pois temos que calcular o peso:

V a z u l = 1030835,09 × 10 - 9   m 3 = 1,03 × 10 - 3   m 3

Passo 3

E a parte verde? Vai ser dada por:

V v e r d e = 2 ( π r - 2 A 2 )

Perceba que multiplicamos por dois, pois são dois triângulos verdes!!!

O r - 2 vai ser a distância até o centróide do triângulo:

Perceba que, na posição que foi colocado, teremos que usar 2 3 da altura nos cálculos:

r - 2 = 50 + 2 3 75 = 100   m m

E a área de um dos triângulos será:

A 2 = ( 25 ) ( 75 ) 2 = 937,5   m m 2

Agora podemos calcular o volume do sólido gerado pela revolução dos triângulos:

V v e r d e = 2 π r - 2 A 2     →       V v e r d e = 2 π ( 100 ) ( 937,5 )

V v e r d e = 589048,6   m m 3

Passando isso para m 3 , temos:

V v e r d e = 0,58 × 10 - 3   m 3

Passo 4

Agora é só somar:

V t o t a l = 1,03 × 10 - 3 + 0,58 × 10 - 3

V t o t a l = 1,619 × 10 - 3   m 3

Passo 5

Mas não é nossa resposta final, porque queremos saber o peso W do sólido. Sabendo que a massa específica do alumínio é µ = 2690   k g / m 3 , temos que a massa do sólido será de:

m = µ V       →           m = 2690 ( 1,619 × 10 - 3 )

m = 4,355   k g

Então, o peso W será igual a:

W = m g       →           W = 4,355 ( 9,81 )

W = 4 2,7   N

Resposta

W = 42,7   N

Esse conteúdo é exclusivo para cadastrados.

Cadastre-se grátis no maior portal de exatas do Brasil!

Relaxa, não vamos publicar nada no seu nome.

  • Resumões direto ao ponto
    Resumões
    direto ao ponto
  • Exercícios resolvidos passo a passo
    Exercícios resolvidos
    passo a passo
  • Videoaulas incríveis
    Videoaulas
    incríveis
  • Aulões Salva-Vidas
    Aulões
    Salva-Vidas