Exercícios Resolvidos de Teoremas de Pappus

J.L. Meriam & L.G. Kraige, Mecânica para engenharia, Estática, 6° ed. RJ: LTC, 2012, 193, 5/73

Usando os métodos desta seção determine a área superficial A e o volume V do corpo formado pela revolução da área retangular por 360 ° em torno do eixo z .

Passo 1

Este corpo é formado quando giramos esta área retangular por 360 ° em torno do eixo z :

Então, para acharmos a área superficial basta aplicarmos a nossa fórmula de área:

A = 2 π r - L

Precisamos calcular r - e o perímetro L da figura.

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Passo 2

O r - é o quanto o centróide do retângulo está afastado do eixo em que a figura gira, neste nosso caso é o eixo z . O centróide de um retângulo fica no seu centro geométrico, então vamos ter que:

Então, r - será:

r - = 18 + 6 2           →           r - = 21   m m

Passo 3

Agora vamos calcular o perímetro L do retângulo que dá origem ao nosso corpo:

Então, vamos ter que:

L = 6 + 6 + 4 + 4         →           L = 20   m m

Passo 4

Agora sim podemos calcular a área superficial do corpo:

A = 2 π r - L       →           A = 2 π ( 21 ) ( 20 )

A = 2640   m m 2

Passo 5

Vamos calcular agora o volume deste corpo. Para isso, precisamos aplicar esta fórmula aqui:

V = 2 π r - A

Já sabemos r - :

r - = 21   m m

Precisamos calcular a área do nosso retângulo:

A = 6 4     →         A = 24   m m 2

Então, o volume do corpo é:

V = 2 π r - A       →         V = 2 π ( 21 ) ( 24 )

V = 3170   m m 3  

Resposta

A = 2640   m m 2

V = 3170   m m 3

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