Exercícios Resolvidos de Teoremas de Pappus

J.L. Meriam & L.G. Kraige, Mecânica para engenharia, Estática, 6° ed. RJ: LTC, 2009, 199, 5/75

A área de um setor circular é girada de 180 ° em torno do eixo y . Determine o volume do corpo resultante, o qual é parte de uma esfera.

Passo 1

Primeiro vamos calcular a distância do centróide até o eixo y .

Para isso, vamos usar a fórmula de centróide da área de um setor circular:

x - = 2 R 3 s e n θ θ

O ângulo θ é de 30 ° , mas temos que passar isso para radianos. Vamos fazer uma regra de 3 sabendo que 180 ° corresponde a π radianos:

180 °       →           π 30 °       →               θ

θ = π 6

Agora sim podemos calcular a coordenada x - do centróide:

x - = 2 a 3 s e n π 6 π 6 = 2 a π

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Esse vai ser nada mais nada menos que o nosso r - :

r - = x -

E quando vale a nossa área?

Basta ver que esse setor circular tem uma abertura de 60 ° , assim, a área dele vai 1 6 da área de um círculo:

A = π r 2 6         →           A = π a 2 6

Passo 3

Agora basta a gente usar a formula:

V = π r - A = π 2 a π a 2 π 6

V = π a 3 3

Resposta

V = π a 3 3

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