Exercícios Resolvidos de Teoremas de Pappus

J.L. Meriam & L.G. Kraige, Mecânica para engenharia, Estática, 5° ed. RJ: LTC, 2009, 201, 5/93

Calcule a massa m de concreto necessária para construir a represa em arco mostrada. O concreto uma massa específica de 2,4   M g / m 3 .

Passo 1

Para resolver esta questão precisamos encontrar o volume V de concreto que será usado nesta represa e para isso vamos usar a nossa fórmula:

V = θ r - A

Vamos usar esta fórmula porque se você reparar a nossa figura não gira 360 ° em torno do eixo, ela gira somente 60 ° .

O r - é a distância do centróide da figura até o eixo em torno da qual ela gira. E A é a área da figura.

Mas que figura é esta que estamos falando? É a figura que ao girarmos em tono do eixo vai dar origem a nossa represa, ou seja, é a seção transversal da represa.

Então, a nossa figura tem esse formato aqui:

O que isso te lembra? Repare que temos um quadrado e dele retiramos 1 4 de círculo, ou seja, temos aqui um corpo composto de duas figuras.

Para

Vamos primeiro calcular a equação da senóide:

y = a + y s e n ( x )

Onde y s e n ( x ) é a equação da senóide, no modelo: y s e n x = A s e n ( ω x ) . Vamos usar o ponto final:

x = c   e   y = a :

a = a + A s e n ω c → s e n ω c = 0 → ω c = π → ω = π c

Pela função, conseguimos perceber que A = b . Assim:

y = a + b s e n π c x

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Vamos começar achando o centróide desta figura. Para isso temos que posicionar o eixo em torno do qual a figura gira (vamos chamar de eixo z ):

Repare na figura que foi dada no enunciado que o final da represa está distante 200   m do eixo!

Agora vamos achar a área de cada parte que compõe a nossa figura:

A q u a d r a d o = 80 80       →           A q u a d r a d o = 6400   m 2

E o 1 4 de círculo cujo raio é de 70   m é:

A 1 4   c í r c u l o = π r 2 4       →           A 1 4   c í r c u l o = 3848,5   m 2

Não esqueça que temos que tratar a área de 1 4 de círculo como negativa, pois estamos retirando esta área da área total do quadrado.

Então, a área total da figura é:

∑ A = 6400 -   3848,5       →           ∑ A = 2551 , 5   m 2

Lembra da nossa tabela? Vamos montá-la para facilitar as coisas:

Passo 3

Agora temos que achar a coordenada r - do centróide de cada parte que compõe a nossa figura. Vamos começar pelo quadrado:

Sabendo que o centróide do quadrado fica no seu centro geométrico, temos que:

r - = 120 + 80 2         →         r - = 160   m

E o centróide do 1 4 de círculo se calcula com a seguinte fórmula:

y - = 4 r 3 π      

Somando a isso os 120   m até chegar o eixo, vamos ter que:

r - = 4 ( 70 ) 3 π + 120         →             r - = 149,7   m

Vamos colocar isso na nossa tabela:

Passo 4

Agora temos que multiplicar a área de cada parte pela sua respectiva coordenada r - :

A q u a d r a d o r - = 6400 160 = 1024000   m 3

E:

A 1 4   c í r c u l o r - = - 3848,5 149,7 = - 576120,5   m 3

Agora precisamos somar esses dois valores:

∑ A r - = 1024000 - 576120,5  

∑ A r - = 447879,5

Vamos colocar isso na nossa tabela também:

Beleza?

Passo 5

Agora é só aplicarmos a fórmula do centróide para corpos compostos:

r - = ∑ A r - ∑ A       →         r - = 447879,5 2551,5  

r - = 175,5   m

Pronto, já achamos a distância do centróide da nossa figura até o eixo em torno da qual ela gira.

Perceba que neste processo achamos também a área total da nossa figura:

∑ A = 2551,5   m 2

Então, já temos tudo para achar o volume de concreto da represa.

Passo 6

Para calcular o volume, vimos que vamos precisar usar esta fórmula aqui:

V = θ r - A

Onde esse ângulo θ corresponde ao ângulo que a figura gira em torno do eixo, ou seja, ele vale 60 ° . Mas é necessário passar para radianos antes!

Para isso vamos fazer uma regra de 3 sabendo que 180 ° corresponde a π radianos:

180 °       →           π 6 0 °       →               θ

θ = π 3

Agora sim podemos achar o volume:

V = θ r - A           →           V = π 3 ( 175,5 ) ( 2551,5   )

V = 469018,4   m 3

Mas isso ainda não é a nossa resposta final!

Passo 7

Queremos saber a massa m de concreto que será necessária para construir a represa, para isso temos que saber que:

m = ρ V

Onde ρ é a massa específica do concreto, a qual vale 2,4   M g / m 3 .

Então:

m = ρ V       →           m = ( 2,4 )   ( 469018,4 )

m = 1125644,2   M g

Podemos escrever assim:

m = 1 , 126   × 10 6   M g

Resposta

m = 1,126   × 10 6   M g

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