Exercícios Resolvidos de Teoremas de Pappus

J.L. Meriam & L.G. Kraige, Mecânica para engenharia, Estática, 6° ed. RJ: LTC, 2009, 199, 5/74

O arco circular é girado de 360 ° em torno do eixo y . Determine a área superficial externa S do corpo resultante, que é uma parte de uma esfera.

Passo 1

Primeiro precisamos saber a distância entre o centróide do semicírculo e o eixo y . Para isso, vamos usar a seguinte fórmula:

x - = a s e n θ θ

O ângulo θ é de 3 0 ° , mas temos que passar isso para radianos. Vamos fazer uma regra de 3 sabendo que 180 ° corresponde a π radianos:

180 °                 π 3 0 °                     θ

θ = π 6

Agora sim podemos calcular a coordenada x - do centróide:

x - = a s e n π 6 π 6                 x - = a 1 2 π 6

x - = 3 a π

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Então, vamos usar a nossa fórmula para calcular a área da superfície:

A = 2 π r - L

O r - é a distância do centróide até o eixo em torno do qual a figura gira que é o eixo y . Repare que o r - é igual a x - :

r - = x - = 3 a π

E L é o perímetro. O perímetro de um círculo completo, ou seja, com 360 ° é calculado por 2 π r . Então, o comprimento para 3 0 ° é só fazermos uma regra de 3 :

36 0 °               2 π r 30 °                     L

L = π r 3

Então, o comprimento L da nossa figura é:

L = π r 3               L = π a 3

Então, a área superficial é:

A = 2 π r - L               A = 2 π 3 a π π a 3

A = 2 π a 2

Resposta

A = 2 π a 2

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