Exercícios Resolvidos de Teoremas de Pappus

J.L. Meriam & L.G. Kraige, Mecânica para engenharia, Estática, 6° ed. RJ: LTC, 2012, 199, 5/90

Determine o volume V e a área superficial A do sólido gerado pela revolução da área mostrada por 180 ° em torno do eixo z .

Passo 1

Para achar o volume temos que usar a seguinte equação:

V = π r - A

O r - é a distância do centro da figura até o eixo z (que é o eixo em torno do qual a figura gira):

r - = 75 + 40 = 115   m m

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

E a área A ? Vai ser a soma das áreas do retângulo e do semicírculo:

  • Retângulo:
  • A r e t â n g u l o = ( 80 ) ( 30 )

    A r e t â n g u l o = 2400   m m 2

  • Semicírculo:

A s e m i c í r c u l o = ( 40 ) 2 π 2

A s e m i c í r c u l o = 2 513,3   m m 2

Então, a área total será:

A t o t a l = A r e t â n g u l o + A s e m i c í r c u l o               A t o t a l = 2400 + 2513,3

A t o t a l = 4913,3   m m 2

Passo 3

Agora sim podemos calcular o volume V do sólido:

V = π r - A                 V = π ( 115 ) ( 4913,3   )

V = 1775083,2   m m 3

Passo 4

Agora precisamos calcular a área superficial do sólido e para isso vamos usar esta fórmula aqui:

A = π r - L

O L é o perímetro da nossa figura:

Repare que o perímetro do semicírculo é:

L s e m i c í r c u l o = π r               L s e m i c í r c u l o = π ( 40 )

L s e m i c í r c u l o = 125,7   m m

E o perímetro do retângulo fica:

L r e t â n g u l o = 30 + 80 + 30               L r e t â n g u l o = 140   m m

Então, o perímetro total da nossa figura é:

L t o t a l = 125,7 + 140

L t o t a l = 265,7   m m

Passo 5

O r - continua o mesmo:

r - = 115   m m

Então, a área superficial do sólido é:

A = π 115 265 , 7

A = 96000   m m 2

Resposta

V = 1775083,2   m m 3

A = 96000   m m 2

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